Sözde dışbükeylik

Sözde dışbükey bölgeler, matematikte karmaşık analizin ve çok değişkenli karmaşık analizin merkezinde yer alan holomorf fonksiyonların doğal tanım kümeleridir.

Daha açık bir şekilde ifade edilecek olursa, bir değişkenli veya çok değişkenli karmaşık analizde esas araç olarak kullanılan holomorf fonksiyonlar kullanılarak tanımlanan holomorfluk bölgeleri sözde dışbükey kümelerdir. Tersi ifade, yani sözde dışbükey kümelerin holomorfluk bölgeleri olduğu Levi problemi olarak bilinmektedir.

Karmaşık düzlemdeki her açık küme bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; yani, sözde dışbükeydir. Ancak, bu durum yüksek boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki bölgeler için her zaman geçerli değildir. Bu yüzden, sözde dışbükeylik birden fazla karmaşık boyutlu uzaylarda daha çok çalışılır.

Tanım

Sözde dışbükey bölgfeler için birden fazla tanım vermek mümkündür:

Hartogs sözde dışbükeyliği

$\Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}$ bağlantılı ve açık bir küme olsun. $\Omega$ üzerinde tanımlı sürekli, çoklualtharmonik bir $\varphi$ fonksiyonu varsa ve bütün gerçel $x$ sayıları için $\{z\in \Omega \mid \varphi (z)<x\}$ kümesi $\Omega$ nın göreceli tıkız bir alt kümesi ise, o zaman $\Omega$ ya "sözde dışbükey" bölge adı verilir.

Levi sözde dışbükeyliği

$\Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}$ bağlantılı ve açık bir küme, $\Omega$ nın sınırı olan $b\Omega$ ise $C^{2}$ olsun. $\Omega$ nın tanımlayıcı fonksiyonunu $\rho$ ile gösterelim. Eğer $z\in b\Omega$ iken

$\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \rho }{\partial z_{j}}}(z)w_{j}=0$

koşulunu sağlayan her $w\in {\mathbb {C} }^{n}$ için

$\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial z_{j}\partial {\bar {z_{k}}}}}(z)w_{j}{\bar {w_{k}}}\geq 0$

ise, o zaman $\Omega$ ya sözde dışbükey bölge adı verilir. Bu eşitsizlik, $w\neq 0$için, $b\Omega$nın noktalarında $0$dan daima büyükse, o zaman bölgeye kesin (kati) sözde dışbükey bölge adı verilir. $b\Omega$ nın $C^{2}$ olmadığı durumda, $\Omega$, $\Omega$ nın altkümesi olan kesin sözde dışbükey bölgeler dizisinin en küçük üst sınırı (supremum) olarak elde edilebiliyorsa, $\Omega$ ya yine sözde dışbükey bölge adı verilir.

Notlar

• Verilen bu iki sözde dışbükeylik tanımı birbirine denktir.
• Bütün dışbükey bölgelerler aynı zamanda sözde dışbükeydir.
• $n=1$ iken, bütün açık kümeler sözde dışbükeydir.
• $n\geq 2$ iken, bölgeler sözde dışbükey olmak zorunda değildir (Hartogs devam teoremi).

Ayrıca bakınız

• Levi problemi
• Holomorf dışbükey zarf
• Stein çokkatlısı
• Analitik çokyüzlü

Kaynakça

• Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.