Çok değişkenli karmaşık analiz

Matematikte, karmaşık koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisine; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine çok değişkenli karmaşık analiz denir.

Karmaşık analiz değişken sayısından bağımsız olarak bir matematiksel analizin alt disiplini olarak görülse de, karmaşık analiz kavramından ekseriyetle kökleri Euler ve daha öncesine kadar giden ve karmaşık düzlemde yapılan bir değişkenli karmaşık analiz olarak anlaşılır. Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi, karmaşık analizden önemli noktalarda farklılık gösterir ve bazı matematik cemiyetlerince ayrı araştırma alanı olarak sınıflandırılmıştır. Mesela, bir değişkenli karmaşık analiz hem Avrupa hem de Batı cemiyetlerince araştırma alanı olarak 30 rakamıyla, çok değişkenli karmaşık analiz ve analitik uzaylar ise 32 rakamıyla sınıflandırılmıştır.

Tek karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisinde olduğu gibi bu alanda da incelenen fonksiyonlar genelde holomorf veya başka bir deyişle karmaşık analitiktir. Dolayısıyla, tanımlı oldukları noktalarda yerel olarak z_i karmaşık değişkenlerinde kuvvet serileri ile temsilleri vardır. Başka bir denk ifadeyle, çok boyutlu karmaşık uzayda, holomorf fonksiyonlar polinomların yerel olarak düzgün limitleridir veya $n$ boyutlu Cauchy-Riemann denklemlerinin yerel olarak kare-integrallenebilir çözümleridir.

Meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemi Cousin problemi olarak adlandırılır. Ayrıca, çok değişkenli karmaşık analizde yapılan çalışmalar aynı zamanda tıkız kompleks manifoldlar ve kompleks projektif varyete ($\mathbb {CP} ^{n}$) alanında yapılan çalışmalar için önemlidir. Bu çalışmalar $\mathbb {C} ^{n}$'de yapılan kompleks analitik geometri veya Stein manifoldu üzerine yapılan çalışmalara değişik bir bakış açısı sağlar.

Alanın adı hakkında

Alanın adı, Türkçedeki ve daha birçok gelişmiş dildeki sayma sistemlerinde birden fazla anlamına gelen bir kelimenin bulunmamasından dolayı ilk okunduğunda garip bir anlaşılmazlık yaratır. Aslında, yazılmak istenen Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ifadesidir.

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine yönelik en erken çalışmalar çoğunlukla Almanca yazılmış makalelerde iki veya hesaplama yapmanın kolay olduğu birkaç karmaşık değişkenli durumda rastlanır. Bu sebeple Almanca Mehreren komplexen Variablen ifadesinin kullanımı yayılmış, bu alanda araştırmalara öncülük yapmış diğer bilim dilleri olan Fransızcada plusieurs variables complexes, İngilizcede de Several Complex Variables olarak yaygınlaşmıştır. Yine bu alandaki öncü makalelerden olan Eugino Levi'nin İtalyanca makalesi de iki veya daha fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar tabirini kullanmıştır. Ancak, modern İtalyancada kullanılan tabir Funzioni di più variabili complesse ifadesidir ki buradaki più sözü daha çok/fazla anlamı verir. Türkçedeki Çok değişkenli karmaşık analiz kullanımı, Rusçadaki Многомерный комплексный анализ (Çok boyutlu kompleks analiz) kullanımıyla benzerlik göstermektedir.

19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar üzerine yapılan ve hızlanmaya başlayan araştırmalar ve tek değişkenli karmaşık analizden farklılık göstermeye başlayan sonuçlar elde edilmesiyle beraber, bu alanda daha önceden beri çalışılagelen düşük boyutlu karmaşık koordinat uzaylarındaki tanımlı fonksiyonlar yerlerini, $n$ birden fazla herhangi bir tam sayı olacak şekilde, $n$ boyutlu karmaşık uzaylarda tanımlı fonksiyonlara bırakmaya başlamıştır. Aslında, demek istenen ne birkaç ne de çok sözüdür. Sadece, birden fazla karmaşık değişkenin göz önüne alındığı ama bu sayının genel tutulup aşikâr edilmediği ima edilmektedir.

Tarihi

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi tarihi olarak en azından 19. yüzyılın başlarına kadar götürülse de, 20. yüzyıl başlarında bir değişkenli karmaşık analizden keskin bir şekilde ayrılan sonuçların elde edilmesiyle beraber, teori $n\geq 2$ için yeni bir disiplin olarak doğmuştur. Hartogs'un 1906'da $\mathbb {C} ^{2}$'deki bazı bölgelerin holomorfluk bölgesi olamayacağını göstermesi ve Poincaré'nin karmaşık düzlemdeki iki birim diskin kartezyen çarpımıyla $\mathbb {C} ^{2}$'deki birim yuvarın birbirine Riemann dönüşüm teoremindeki gibi denk olmayacağını göstermesi çok değişkenli karmaşık analizin doğuşuna sebep olan öncü iki çalışmadır.

İlk kaynaklar

Çok değişkenli karmaşık analizin Hartogs ve Poincaré ile başlayan çağında altın kaynak vazifesi gören çalışmalar Felix Klein öncülüğünde başlatılan Almanca matematik ansiklopedisi Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (EMW) bünyesinde bulunmaktadır. EMW'nin Analize ayrılan ikinci cildi beş ayrı kitap olarak yayınlanmıştır.

Bd.2-2 olarak numaralandırılan ikinci cildin üçüncü kitabının William Osgood tarafından 1901'de yazılan Allgemeine Theorie analytischen Funktionen einer und mehrerer komplexer Variabler başlıklı kısmı ilk derli toplu kaynaktır. Dört alt başlık altında toplanan bu çalışmanın birinci kısmında Bir karmaşık değişkenli analitik fonksiyonların genel teorisinin temelleri verilmiştir. İkinci kısımda Geometrik fonksiyon teorisi ele alınmış; üçüncü kısım ise Analitik fonksiyonların sonsuz seriler ve çarpımlarla temsil edilmesi yoluyla incelenmesine ayrılmıştır. Son kısımda ise Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar ele alınmıştır.

Bd. 2-3-1 olarak numaralandırılan ikinci cildin dördüncü kitabının Ludwig Bieberbach tarafından 1920'de yazılan Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen başlıklı kısmı William Osgood'un daha önceki ansiklopedi çalışması ve bu ansiklopedi çalışmasından genişletilerek yazılan Lehrbuch der funktionentheorie kitabından sonra yapılmış ikinci ciddi kaynak çalışmadır. Onbir ayrı başlıkta yazılan bu çalışmanın son kısmında Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar ve Osgood'un ansiklopedi çalışmasından sonra bu alandaki araştırmalar ele alınmıştır.

Osgood'un yazdığı ansiklopedi maddesi daha sonra yine William Osgood tarafından yazılan birinci baskısı 1907'de, ikinci baskısı ise 1912'de yapılan iki ciltlik Lehrbuch Der Funktionentheorie çalışmasına temel oluşturmuştur. Osgood, ayrıca bu alandaki ilk İngilizce eserlerden biri olan Topics in the theory of functions of several complex variables adlı derleme kitabını yazmıştır. Yine aynı yılda, Andrew Forsyth tarafından 1913'te Kalküta Üniversitesi'nde verdiği derslerden derlenen başka bir İngilizce kitap da yayınlanmıştır.

1934'te Heinrich Behnke ve Peter Thullen tarafından yazılan ve 1970'te tekrar baskısı yapılan Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher başlıklı kitap uzun yıllar boyunca ana kaynak vazifesi görmüştür. 1948'te Salomon Bochner ve William Ted Martin tarafından yazılan Several Complex Variables adlı kitap ise 1950'den önce yazılmış ve uzun süre kaynak vazifesi görmüş ilk kitaplardandır.

Gelişimi

Friedrich Hartogs, Pierre Cousin, Eugenio Elia Levi öncü çalışmaları ve Kiyoshi Oka'nın 1930'lardaki çalışmalarıyla genel bir teorinin anahatları ortaya çıkmaya başladı. Bu dönemde bu alanda çalışan diğer matematikçiler Heinrich Behnke, Peter Thullen, Karl Stein, Wilhelm Wirtinger ve Francesco Severi'ydi. Hartogs, $n>1$ iken her analitik fonksiyon $f:\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ için, korunmalı (yalıtık) her tekilliğin aslında kaldırılabilir tekillik olması gerektiği gibi bazı temel sonuçları kanıtladı.

1945'ten sonra Fransa'da Henri Cartan'ın ve Almanya'da Hans Grauert ve Reinhold Remmert'in seminerlerinde yapılan önemli çalışmalar, teorinin resmini hızla değiştirdi. Özellikle analitik devamlılıkla âlâkalı olmak üzere bir dizi konu açıklığa kavuşturuldu. Özellikle, tek değişkenli teoriden farklılaşan sonuçlar açıkça ortaya konuldu: açık ve bağlantılı her $D\subset \mathbb {C}$ kümesi için, bu kümenin sınırı üzerinde analitik olarak hiçbir yerde devam etmeyecek bir fonksiyon bulabiliriz; ama, durum $n>1$ ikne böyle değildir. Aslında, bu türden $D$'ler karmaşık koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$ ve Stein manifoldları özelinde sözde dışbükeylik adı verilen bir şartı sağlamaktadır.

Holomorfluk tanımı

Bir değişkenli karmaşık analizdeki her noktada karmaşık türevlenebilme üzerinden yapılan holomorfluk tanımı, çok değişkenli analizde de benzer şekilde geçerlidir. $\Omega$ karmaşık düzlemde açık bir küme olmak üzere, $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonunun $z_{0}\in \Omega$ noktasında holomorf olması için verilen

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

tanımı, $n\geq 2$ iken, her bir karmaşık değişken için (diğerleri sabit tutularak) ayrı ayrı istenir. Diğer deyişle, $\Omega$ bu sefer $n$ boyutlu karmaşık koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$de açık bir küme olmak üzere, bir $g:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonunun holomorfluğu için

$\omega \mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},\omega ,z_{i+1},\dots ,z_{n})$

gönderimlerinin her bir koordinatta ayrı ayrı holomorf olması yeterlidir. Bazen, holomorfluk için süreklilik varsayımı da eklenir; ancak, bu varsayım Hartogs teoremi sayesinde gereksizdir.

Denk tanımlar

Karmaşık türevlenebilme

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bölgesinde tanımlı ve $\mathbb {C}$'de değer alan bir $f$ fonksiyonunun bir $z\in \Omega$ noktasında holomorfluğu için bu noktada karmaşık-türevlenebilmesi yeterlidir. Diğer deyişle,

$f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )$

denkliğini sağlayacak karmaşık-doğrusal bir $L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ gönderimi varsa, o zaman $f$'ye $z$ noktasında holomorftur denilir. Eğer, $f$ fonksiyonu, $\Omega$ tanım kümesinin tüm noktalarında holomorf ise o zaman $f$ye ($\Omega$ üzerinde) holomorftur denir.

Cauchy-Riemann denklemleri

Bir değişkenli karmaşık analizde, $f:\Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ fonksiyonunun bir $p\in \Omega$ noktasında holomorf olması için bu fonksiyonun gerçel kısmı $u$ ve sanal kısmı $v$'nin Cauchy-Riemann denklemlerini $p$ noktası sağlaması gerekli ve yeterlidir.

$${\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ ve }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)$$

Çok değişkenli karmaşık analizde, bir $f:\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ fonksiyonunun holomorf olması ancak ve ancak her koordinata karşılık gelen değişkende holomorf olmasıyla mümkündür. Bu da, bir karmaşık değişkenli analizdeki sonuçlardan yola çıkarak, fonksiyonun her koordinat değişkenindeki gerçel kısmı $u$ ve sanal kısmı $v$'nin Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıyla mümkündür: $$\forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ ve }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}$$

Wirtinger türevi gösterimi kullanırsak, o zaman $$\forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,$$ yazılabilir. Fonksiyon, karmaşık diferansiyel formların $(0,0)$-dereceli bir hali olduğu için, Cauchy-Riemann denklemleri derli toplu bir şekilde ${\bar {\partial }}f=0$ olarak da yazılabilir.

Bir değişkenli karmaşık analizle karşılaştırma

Aynı kalan sonuçlar

$\Omega$ kümesi $\mathbb {C} ^{n}$de açık olmak üzere,

• ${\mathcal {O}}(\Omega )=\{f:\Omega \mapsto \mathbb {C} :f{\text{ holomorftur }}\}$ tanımlansın.

O zaman, ${\mathcal {O}}(\Omega )$, $\mathbb {C}$ cismi üzerinde iyi tanımlı bir cebirdir. Gerçekten de

1. İki holomorf fonksiyonun toplamı ve çarpımı yine holomorftur.
2. $f$ tanımlı olduğu her noktada sıfırdan farklı değer alıyorsa, o zaman ${\frac {1}{f}}$ de holomorftur.

En büyük mutlak değer teoremi

Ana madde: Maksimum ilkesi (karmaşık analiz)

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bir bölge (bağlantılı ve açık) olsun. $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu için $|f(z)|$'nin en büyük değeri $\Omega$ içindeki bir noktada elde ediliyorsa, o zaman $f$ sabittir. Bu yüzden, $\Omega$ sınırlı bir bölgeyse, $f:{\overline {\Omega }}\mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu sürekliyse ve sabit değilse, $|f(z)|$ en büyük değerini $\Omega$'nın topolojik sınırı olan $b\Omega$ üzerinde alır.

Yerel düzgün yakınsaklık

$f_{n}:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ yerel düzgün yakınsak bir holomorf fonksiyon dizisi ise; yani, her $z\in \Omega$ için bir $U_{z}$ komşuluğu varsa ve $f_{n}|_{U_{z}}$ dizisi düzgün yakınsaksa, o zaman limit fonksiyonu da holomorftur.

Özdeşlik teoremi

Ana madde: Özdeşlik teoremi

Holomorf bir fonksiyon açık bir küme üzerinde sıfır değeri alıyorsa, o zaman her yerde tamamen sıfır değeri alır; yani, bu fonksiyon sıfır fonksiyondur.

Açık gönderim teoremi

Ana madde: Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

$f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu sabit değilse, $f(\Omega )$ karmaşık düzlemde açıktır.

Kuvvet serisi temsili

$\mathbb {N} _{0}^{n}=\{(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})|\alpha _{i}\in \mathbb {N} \quad \forall i=1,\ldots ,n\}$' kümesi ${\textstyle n}$-boyutlu doğal sayılar kümesi olsun. $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ ve $X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$için aritmetik, sıralama, mutlak değer, faktöriyel ve kuvvet alma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın:

• $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$
• $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$
• $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$
• $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$
• $X^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$

O zaman, bu biçimdeki vektör endeksler için, $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}a_{\alpha }X^{\alpha }$ bir kuvvet serisi olur ve yakınsaklığı mutlak yakınsaklık üzerinden tanımlanır.

Diğer taraftan, $z$ merkezli ve $r=(r_{1},\cdots ,r_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ yarıçaplı çoklu disk (polidisk)

$P(a,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert a_{k}-w_{k}\vert <r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}$

olarak tanımlanır. O zaman, $f:P(a,r)\mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu holomorf ise,

$f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}a_{\alpha }(z-a)^{\alpha }$

gösterimi vardır. Ayrıca, $f^{(\alpha )}(a):={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial z_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial z_{n}^{\alpha _{n}}}}$ olmak üzere $a_{\alpha }={\frac {f^{(\alpha )}(a)}{\alpha !}}$ olur.

Liouville teoremi

Ana madde: Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Bir fonksiyon $\mathbb {C} ^{n}$'de holomorf ve sınırlıysa, o zaman sabittir.

Farklılaşan sonuçlar

Sıfır ve tekilik kümeleri

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların sıfır değeri aldıkları noktaların bu fonksiyonların tanımlı oldukları kümenin içine limiti olamaz. Yani, karmaşık düzlemdeki açık kümelerde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları yalıtıktır. Ancak, bu durum yüksek boyutlarda geçerli değildir. Örneğin, $f(z_{1},z_{2})=z_{1}z_{2}$ olarak tanımlı holomorf fonksiyonun sıfır kümesi $\mathbb {C} \times \{0\}\cup \{0\}\times \mathbb {C}$ kümesidir.

Çok değişkenli holomorf fonksiyonların tek bir noktada tekilliği olamaz (Hartogs devam teoremi).

Ayrıca bakınız: Sıfır (karmaşık analiz) ve Kutup (karmaşık analiz)

Yakınsaklık bölgesi

Ana maddeler: Yakınsaklık yarıçapı ve Reinhardt bölgesi

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar tanımlı oldukları her noktada yerel olarak kuvvet serileri olarak temsil edilebilirler. Benzer bir durum, yüksek boyutlar için de geçerlidir. Ancak, bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da çoklu disk (polidisk) veya kompleks koordinat uzayı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, tam Reinhardt ve logaritmik-dışbükey bölgeler bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesidir.

İntegral temsilleri

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların integral temsili olan Cauchy integral formülünün $n\geq 2$ için genelleştirmeleri mevcuttur. Ancak, yüksek boyutlarda, $n=1$ iken olduğu gibi geçerli olan tek bir gösterim mevcut değildir.

Cauchy integral formülünün yüksek boyutlardaki kolay bir genellemesi karmaşık düzlemdeki açık kümelerin kartezyen çarpımından oluşan bölgeler için çok rahatlıkla gösterilebilir. Buna paralel olarak, analitik çokyüzlüler üzerinde Bergman-Weil formülü de vardır. Ancak, bu haliyle hem kartezyen çarpımı olan bölgeler için geçerli olmasıyla hem de katlı integrallerin topolojik sınır değil de sınırların kartezyen çarpımında olmasıyla yüksek boyutlardaki kullanımı güdük kalmaktadır. Yüksek boyutlarda, bu yönde elde edilmiş Bochner-Martinelli formülü ve Cauchy-Fantappié formülü gibi değişik temsiller vardır.

Ayrıca bakınız: Cauchy integral teoremi, Bergman-Weil formülü, Bochner-Martinelli formülü ve Cauchy-Fantappié formülü

Holomorfluk bölgeleri

Ana maddeler: Holomorfluk bölgesi ve Sözde dışbükeylik

Karmaşık düzlemdeki her bölge $D\subset \mathbb {C}$, bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; başka bir deyişle, her bölgenin üzerinde tanımlı ve holomorf olarak devam ettirelemeyen bir holomorf fonksiyon bulunabilir. Ancak, çok değişkenli karmaşık analiz için durum böyle değildir. Diğer deyişle, $\mathbb {C} ^{n}(n\geq 2)$'deki bazı bölgeler, herhangi bir fonksiyonun holomorfluk bölgesi değildir. Hartogs önsavı ve Hartogs devam teoremi ile kanıtlanan bu özellik sayesinde, holomorfluk bölgesinin karakterizasyonu bu disiplinde önemli bir yer tutar.

Riemann gönderim teoremi

Ana madde: Riemann gönderim teoremi

Bir değişkenli karmaşık analizde, karmaşık analizin düzleme eşit olmayan ve basit bağlantılı olan her altkümesi birim diske birebir-örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denktir. Ancak, benzer bir sonuç yüksek boyutlarda her zaman geçerli değildir. Mesela, Poincaré $\mathbb {C} ^{2}$deki birim polidisk ile birim yuvarın arasında böyle bir dünüşüm olamayacağını göstermiştir.

Bu yönde bilinen ayırıcı başka bir özellik Fatou-Bieberbach bölgesidir. $\mathbb {C} ^{n}$'nin özalt kümesi olup da kompleks koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$ye birebir, örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denk olan bu bölgeler karmaşık düzlemde (yani $n=1$ iken) bulunmaz.

Ayrıca bakınız: Fatou-Bieberbach bölgesi