Möbius fonksiyonu

Möbius fonksiyonu $\mu (n)$, 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda $\mu (n)$ ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Adını aldığı	August Ferdinand Möbius
Yayın yılı	1832
Yayın yazarı	August Ferdinand Möbius
Bilinen terimlerin sayısı	sonsuz
İlk terimler	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
OEIS indeksi	A008683 Möbius (veya Moebius) fonksiyonu $\mu (n)$. $\mu (1)=1$; $\mu (n)=(-1)^{k}$ eğer n, k farklı asalın çarpımı ise; aksi halde $\mu (n)=0$.

Tanım

Herhangi bir pozitif tam sayı $n$ için $\mu (n)$, 1'in primitif olan ninci köklerinin toplamını ifade eder. $\mu (n)$, $n$'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre $\{-1,0,1\}$ değerlerini alabilir.

Eğer $n$,

• çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise $\mu (n)=+1$,
• tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise $\mu (n)=-1$,
• kare içeriyorsa $\mu (n)=0$

olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:

$\mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)$

Burada $\delta$ Kronecker deltasını, $\lambda (n)$ Liouville fonksiyonunu ($(-1)^{\Omega (n)}$ olarak ifade edilir), $\omega (n)$ ve $\Omega (n)$ ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

Değerler

$\mu (n)$'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\mu (n)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\mu (n)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$\mu (n)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

$n$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$\mu (n)$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
$\mu (n)$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Möbius fonksiyonun ilk 50 değeri

Uygulamalar

Matematiksel seriler

Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer $s$ reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$

eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik $1/\zeta (s)$'nin Euler çarpımından da görülebilir:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots$

İlgili seriler:

• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$
• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1$
• $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma$ (Burada $\gamma$, Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için Lambert serisi:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q$ ($|q|<1$ için yakınsaktır.)

Asal $\alpha \leq 2$ için de şunu yazabiliriz:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.$

Özellikler

Möbius fonksiyonu $\mu (ab)$, $a$ ve $b$ aralarında asal ise çarpımsaldır ($\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$).

$n$'nin her pozitif böleni $d$ için $\mu (d)$ değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

$\sum _{d\vert n}{\mu (d)}={\begin{cases}1&{\text{eğer }}n=1{\text{ ise}}\\0&{\text{eğer }}n>1{\text{ ise}}\end{cases}}$

Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü'nün temelini oluşturur ve $\mu$'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

$\mu$'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:

$\sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1$

$\sum _{jk\leq n}\cos \left({\frac {\pi (jk-1)}{2}}\right)\mu (k)=1$.

Ortalama değer

Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.

Mertens fonksiyonu

Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı $n$ için aşağıdaki gibi tanımlanan Mertens fonksiyonu'dur.

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\mu (k)}$

Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ebob} (k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}$

eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}.$

Burada ${\mathcal {F}}_{n}$, Farey dizisi'nin ninci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi'nin kanıtında kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız

• Asal omega fonksiyonu
• Liouville fonksiyonu
• Mertens fonksiyonu
• Möbius inversiyon formülü
• Mertens konjektürü
• Riemann hipotezi
• Asal sayı teoremi