Euler-Mascheroni sabiti

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.

sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|

$\gamma$ ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.^[1]

Tezahürleri

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür :

üstel integral ifadelerinde.
doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde.
Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim, burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
Digama fonksiyonu hesaplamaları
Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül
Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik
Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri
Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama
Mertens'in üçüncü teoremi
ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü.
Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
Gumbel dağılımının anlamı ile.

Bu tür için daha fazla bilgi, bkz: Gourdon ve Sebah (2004). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10²⁴²⁰⁸⁰ 'dan büyük olmalıdır.^{[kaynak belirtilmeli]} Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

\ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).

Bunun limiti:

-\gamma =\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma

\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.

\gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi

Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

{\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

{\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

\gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)

ve

{\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}

rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.

\gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., H_n. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler: