Kepler'in gezegensel hareket yasaları

Kepler'in gezegensel hareket yasaları, Güneş Sisteminde bulunan gezegenlerin hareketlerini açıklayan üç matematiksel yasadır. Alman matematikçi ve astronom Johannes Kepler (1572-1630) tarafından keşfedilmişlerdir.

Şekil 1: İki gezegensel yörünge ile Kepler'in üç yasasının gösterimi (1) Yörüngeler, birinci gezegen için odak noktaları ƒ₁ ve ƒ₂, ikinci gezegen için odak noktaları ƒ₁ ve ƒ₃ olmak üzere elips şeklindedir. (2) A₁ ve A₂ gölgeli alanları eşit yüzey alanlarına sahiptir ve 1.gezegenin A₁ alanını taraması için geçen süre, A₂ alanını taraması için geçen süreye eşittir. (3) 1. ve 2. gezegenin yörüngeleri dolanmaları için geçen sürelerin birbirine oranı a₁^3/2 : a₂^3/2 değerine eşittir.

Tycho Brahe, Kepler'den önce Alman İmparatorluğunun astroloğuydu ve o güne kadarki en iyi gök haritalarını hazırlamıştı. Brahe'nin kalfası olan Kepler, Brahe'nin ölümünden sonra bu haritaları inceleyerek Brahe'in gezegenlerin konumları ile tutmuş olduğu kayıtların görece basit olan üç adet matematiksel ifade ile açıklanabileceğini bulmuştur.

Yasalar

1. Yasa

Her gezegen, odak noktalarının birinde Güneş'in bulunduğu bir eliptik yörünge üzerinde hareket eder.

2. Yasa

Bir gezegeni Güneşe bağlayan sanal çizgi eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar.

3. Yasa

Bir gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, dolandığı elipsin ana eksen uzunluğunun küpü ile doğru orantılıdır.

Kepler yasaları, Aristocu ve Batlamyusçu astronomi ve fiziğe meydan okumuştur. Batlamyus modelinden tamamen farklı olarak, gezegenlerin değişken hızlarının, tüm gezegenlerin Güneş çevresindeki eliptik yörüngelerde dolandığını iddia ederek doğrulukla açıklanabileceğini söylemiş, astronomi ve fiziği kökten değiştirmiştir. Hemen hemen bir asır sonra Isaac Newton, kendi hareket yasalarından ve yine kendi bulduğu evrensel çekim yasasından yola çıkıp, Öklid geometisini kullanılarak Kepler yasalarının ortaya çıkarılabileceğini göstermiştir.

Günümüzde Kepler yasaları yapay uyduların ve Kepler'in bile habersiz olduğu Güneş yörüngesinde dolanan kimi cisimlerin (uzak gezegenler ve küçük astroidler gibi) yaklaşık yörüngelerini hesaplamakta kullanılmaktadır. Bu yasalar, atmosfer sürtünmesi, görelilik ve diğer cisimlerin etkisi göz önünde bulundurulmadığında, göreli olarak küçük cisimlerin daha büyük ve daha kütleli cisimler etrafında yaptığı hareketleri açıklamada oldukça kullanışlıdır.

Kepler'in Yasaları

Yasaların genelliği

Şekil 2: Kütleleri biribinden çok az farklı olan iki cismin bir merkez etrafında dönmesi. Şekildeki sistem kütle ve boyut olarak Plüton-Charon sistemine benzerdir.

Bu yasalar birbiri etrafında dönen herhangi iki cismin hareketini açıklar. Bu cisimlerin kütleleri, yaklaşık olarak birbirine eşit (örn. Charon ve Plüton (~1:10)), birbirinden az miktarda farklı (örn. Ay ve Dünya (~1:100)) veya birbirinden çok farklı (örn. Merkür ve Güneş (~1:10,000,000)) olabilir.

Tüm durumlarda her iki cisim de ortak bir kütle merkezi noktası etrafında dolanır ve hiçbirinin de kendi kütle merkezi elipsin odaklarından birinde bulunmaz. Buna rağmen her iki yörünge de, odaklarından biri sistemin kütle merkezinde olacak şekilde bir elips şeklindedir. Kütleler birbirinden çok farklı olduğunda (örn. Güneş etrafında dolanan gezegenler), kütle merkezi daha kütleli cismin kendi kütle merkezinin çok yakınında hatta gövdesi içinde bulunur. Dolayısıyla, sistemin kütle merkezi, kütlesi büyük olan cismin içinde kalır. (Güneş sisteminde Güneş-Jüpiter ağırlık merkezi hariç durum böyledir.) Bu durumda sistemin kütle merkezini büyük kütleli cismin kütle merkezinden ayırt edebilmek için çok hassas ölçümler yapmak gerekir. Bu nedenle birinci yasa Güneş etrafında dolanan gezegenlerin hareketini doğrulukla açıklar.

Aşağıda bu üç yasa özetlenecektir.

Birinci yasa

Şekil 3: Kepler'in birinci yasası, Güneşi eliptik yörüngenin merkezlerinden birine koyar.

"Her gezegen, Güneşin merkezlerinden birinde bulunduğu bir elips üzerinde hareket eder."

Zamanında bu çok çarpıcı bir iddia idi; önceki inanışa göre yörüngeler mükemmel çemberler üzerinde bulunmalıydı. Bu gözlem evrenin Kopernikçi görüşünü desteklemekteydi. Bu durum, yasanın modern bağlamda ilişkisini yitirdiği anlamına gelmez. Teknik olarak elips çemberden farklı olmasına rağmen, küçük dışmerkezliliğe sahip bir yörüngede dolanan bir gezegenin yörüngesi kabaca bir çember olarak düşünülebilir. Bu nedenle gezegenlerin yörüngeleri kabaca gözlenerek, yörüngelerin gerçekten de eliptik olduğunu görebilmek kolay değildir. Buna rağmen Kepler'in hesaplamaları yörüngelerin eliptik olduğunu göstermiş, Güneş'e çok daha uzak göksel cisimlerin yörüngelerinin de büyük dışmerkezliliğe sahip eliptik yörüngeler olacağını öngörmüştür (bu iki yanından çekilip uzatılmış bir çembere benzer). Kepler'den sonra birçok göksel cisim astronomlar tarafından kuyruklu yıldız veya asteroid olarak adlandırıldı. Cüce gezegen Plüton 1930'ların sonlarına doğru keşfedildi. Keşfin bu denli gecikmesinin nedeni, Plüton'un boyutlarının diğer gezegenlere kıyasla çok daha küçük olması ve dışmerkezliliğinin çok büyük olmasıdır.

İkinci yasa

Şekil 4: Gezegen Güneş'in yakınında daha hızlı hareket eder, böylece uzakta bulunup yavaş hareket ettiği durumlarda taradığı alan ile aynı miktarda alan taranmış olur.

"Bir gezegeni Güneşe bağlayan çizgi eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar."

Sembolik olarak:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0$

Burada ${\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}$ ifadesi "alansal hız"'ı (birim zamanda taranan alan) ifade eder. Matematiksel olarak bu ifadenin zamana göre türevinin sıfır olması, gezegen tarafından birim zamanda taranan alanın sabit olduğu anlamına gelmektedir.

Bu yasa eşit alanlar yasası olarak da bilinir. Bu yasayı anlayabilmek için, gezegenin bir A noktasından B noktasına bir günde gittiğini varsayalım. Güneş'ten A ve B noktalarına çizilen çizgiler ve gezegenin A noktasından B noktasına hareket ederken izlediği eğrinin içinde kalan bölge bir alan (kabaca bir üçgen) tanımlar. İkinci yasa der ki gezegen, yörüngesinin hangi konumunda olursa olsun, gezegenin bir günlük hareketi boyunca bu aynı alan kaplanacaktır. Birinci yasa bir gezegenin yörüngesinin eliptik olduğunu söylediğine göre, gezegen, yörüngenin farklı konumlarında Güneş'e farklı uzaklıklarda bulunacaktır. Bu durum, gezegenin Güneşe yakın olduğu durumda, uzak olduğu durumdaki ile aynı alanı taraması için daha hızlı gitmesi gerektiği sonucunun çıkmasını gerektirir.

Kepler'in ikinci yasası, birinci yasasının üzerine eklenen bir gerçeği daha ifade etmektedir. İkinci yasa, birinci yasaya göre eliptik yörüngede dolanan gezegene etkiyen net teğet kuvvetin sıfır olması gerektiğini söylemektedir. 'Alansal hız' adı verilen nicelik açısal momentum ile çok yakından ilişkilidir ve bu sebepten ötürü Kepler'in ikinci yasası açısal momentumun korunumunun da bir ifadesidir.

Üçüncü yasa

Güneşten uzak gezegenler, daha yakın olanlara kıyasla daha uzun yörünge periyotlarına sahiptir. Kepler'in üçüncü yasası bu gerçeği niceliksel olarak açıklar.

"Bir gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, dolandığı elipsin ana eksen uzunluğunun kübü ile doğru orantılıdır."

Sembolik olarak:

${P^{2}}\propto {a^{3}}$

$P$ gezegenin yörüngesel periyodu ve $a$ yörüngenin ana eksenidir.

Orantı sabiti Güneş çevresinde dolanan tüm gezegenler için aynıdır.

${\frac {P_{gezegen}^{2}}{a_{gezegen}^{3}}}={\frac {P_{dunya}^{2}}{a_{dunya}^{3}}}=\mathbf {C} .$

C sabitinin değeri en son ölçümlere göre MKS sisteminde şu şekilde bulunmuştur:

$\mathbf {C} =2.97473\cdot 10^{-19}\cdot sn^{2}\cdot m^{-3}$

Örneğin, bir A gezegeninin Güneşe olan uzaklığının B gezegeninin Güneşe olan uzaklığından dört kat daha büyük olduğunu düşünelim. Bu durumda A gezegeni B her turda, B gezegeninden 4 kat daha fazla yol katedecektir ve dahası A gezegeni B gezegeninin yarısı kadar bir hızla hareket edecektir. Yasaya göre, toplamda A gezegeninin yörüngeyi tamamıyla dolanması için geçen süre, B gezegeninin yörüngeyi dolanması için geçen süreden 4×2=8 kat daha büyük olacaktır (8²=4³).

Sıfır dışmerkezlilik

Kepler yasaları Kopernik modelini mükemmelleştirir. Eğer bir gezegensel yörüngenin dışmerkezliliği sıfırsa Kepler yasaları aşağıdaki şekli alır:

1. Güneş merkezde olacak şekilde gezegensel yörünge çemberseldir.
2. Gezegenin yörünge hızı sabittir.
3. Gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, Güneşe olan uzaklığının kübü ile orantılıdır.

Gerçekten de Kopernik ve Kepler tarafından bilinen altı gezegenin dışmerkezlilikleri oldukça küçüktür, bu nedenle bu gezegenler için Kepler yasalarını yukarıdaki şekilde almak, bu gezegenlerin hareketi için mükemmel yaklaşıklıklar sağlar.

O zamanlar düzgün çembersel hareketin normal olduğu düşünüldüğünden, bu hareketten herhangi bir sapma bir anormallik olarak görülüyordu. Kepler'in Kopernik modeli üzerine yaptığı düzeltmeler açıkça belli olmuyordu:

1. Gezegensel hareketler bir çember şeklinde değil, bir elips şeklindedir ve Güneş yörüngenin merkezinde değil, odak noktalarından birindedir.
2. Yörüngede dolanan bir gezegenin ne hızı ne de açısal hızı sabittir, sabit olan alansal hızdır.
3. Bir gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, gezegenin Güneşe olan en küçük ve en büyük uzaklıklarının ortalamasının kübü ile orantılıdır.

Mart ekinoksundan Eylül ekinoksuna kadar olan süre yaklaşık 186 gün iken, Eylül ekinoksundan Mart ekinoksuna kadar olan süre yaklaşık 179 gündür. Bu temel gözlem Kepler'in yasalarını kullanarak gösteriyor ki dünya yörüngesinin dışmerkezliliği sıfır değildir. Bir çap doğrusu yörüngeyi alanları eşit iki kısma ayırırken, ekvator düzlemi ile ekliptik düzlemi arasındaki kesişim, yörüngeyi alanları oranı 186/179 olacak şekilde iki kısma ayırır. Böylece dünya yörüngesinin dışmerkezliliği yaklaşık olarak,

$\varepsilon \approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}=0.015$

bulunur. Bu değer ölçülen gerçek değere oldukça yakındır.

Sıfır olmayan gezegensel kütle

Kepler yasalarına uygun şekilde hareket eden bir gezegenin ivmesinin Güneş'e yönelmiş olduğu ve ivmenin büyüklüğünün Güneş'e olan uzaklığın karesi ile ters orantılı olduğu gösterilebilir. Isaac Newton evrende bulunan tüm kütlelerin, kütleçekim kuvveti olarak tanımladığı bir kuvvet ile birbirini çektiğini varsaymıştır. Gezegenlerin kütlesi Güneş'e kıyasla çok küçük olduğundan, yörüngeler yaklaşık olarak Kepler yasalarına uyumludur. Newton'ın modeli Kepler yasalarını geliştirerek, gözlemlere daha uygun sonuçlar elde edilmesini sağlar.

Gezegenlerin oluşturduğu çekim nedeni ile Kepler yasalarından sapmalar pertürbasyon (ing. perturbation) olarak adlandırılır.

Kepler'in üçüncü yasasındaki orantı sabitinin yörüngede dolanan cisimlerin kütlelerine bağımlılığı aşağıdaki ifadedeki gibidir:

$\left({\frac {P}{2\pi }}\right)^{2}={a^{3} \over G(M+m)},$

Burada P yörüngeyi dolanmak için geçen zaman (periyot) ve P/2π radyan başına zamandır. $G$ kütleçekim sabiti, $M$ Güneş'in kütlesi ve $m$ gezegenin kütlesidir. Eşitlikten görüleceği üzere, gezegenin kütlesi Güneş'in kütlesi yanında ihmal edilebilecek ölçüde küçük olduğunda, Kepler sabitinde gezegenin kütlesi nedeni ile meydana gelen değişim yok sayılabilir. Örnek olarak Kepler sabitinde, Güneş Sistemindeki en büyük kütleli gezegen olan Jupiter'in kütlesinden kaynaklanan tutarsızlık bile yüzde 10 kadardır.

Kepler döneminde uzay cisimleri hakkında bilinenler

Bütün ilk ve Orta Çağ boyunca, Dünya'nın evrenin merkezi olduğu varsayıldı (Batlamyus modeli). Buna karşı çıkan ilk isim görüşlerini ölüm döşeğinde yayımlatmayı başaran Polonyalı papaz ve bilim insanı Nicolaus Copernicıus (1473-1543) oldu. 17. yüzyıla gelindiğinde bilim insanları ikiye ayrılmıştı. Bir bölümü din ve ilk çağ Yunan filozoflarının etkisi altında hala Dünya merkezli evreni, bir kısmı da Güneş merkezli evreni savunuyordu. Kepler ikinciler arasındaydı. Ne var ki, Güneş merkezli evreni savunanlar o tarihte bilinen altı gezegenin (Merkür, Venüs, Dünya, Mars, Jüpiter ve Satürn) hareketlerindeki bazı düzensizlikleri açıklayamıyorlardı.

Feynman’ın kayıp dersi

Kepler'in ikinci yasasının o günkü matematiksel imkânlarla nasıl üretildiği daima merak konusu olmuş ve Nobel ödüllü Amerikalı fizikçi Richard Feynman (1918-1988) bu konuyu bir ders konusu haline getirmiştir. 13.3.1964 tarihinde Kaliforniya Teknik Üniversitesi'nde Feynman'ın tamamen geometri kullanarak verdiği dersin notları sonradan David L.Goodstein ve Judith R.Goodstein tarafından toparlanarak yayımlanmıştır. Bu kitap Zekeriya Aydın tarafından çevrilmiş ve 2003 yılında Türkiye'de de Feynman'ın Kayıp Dersi: Gezegenlerin Güneş Çevresindeki Hareketi adı altında Tübitak tarafından yayımlanmıştır.

Dış bağlantılar

• (İngilizce) Gezegensel yörünge benzetimcisi 7 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.