Black-Scholes denklemi

Black-Scholes modeli ve Black-Scholes formülü ile karıştırılmamalıdır.

Black-Scholes denklemi, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir. Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes denklemi elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

Denklemin ifadesi

Kullanma fiyatı K, vadesi T olan Avrupa tipi bir opsiyonun fiyatı $V=V(t,S)$, bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı S, oynaklığı (volatilitesi) $\sigma$ ve risksiz-faiz oranı r olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani, Brown hareketini $W$ ile gösterirsek, $\mu$ sabitse

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}.$

olsun. O zaman,

${\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0.$

Kanıt

Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (S_t) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sürüklenme ($\mu$) ve volatilite ($\sigma$) olmak üzere;

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,$

Black-Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy ($P$) şu şekilde oluşsun:

• -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
• $\triangle$ sonradan belirlenmek üzere $\triangle$ tane dayanak varlık

Opsiyonun fiyatı $V=V(t,S)$ olsun. O zaman, bu portföyün değeri

$P=-V+\triangle S$

olur. Bu potrföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi $\mathrm {d} P$ o zaman

$\mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S$

olur. Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı $V=V(t,S)$ için Ito önsavı kullanılarak

$\mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\mathrm {d} W$.

O zaman,

$\mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\triangle \mathrm {d} S=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-\triangle \mu S_{t}\right)\mathrm {d} t-\left(\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S\right)\mathrm {d} W$

olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani, $\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}-\triangle \sigma S=0$ olmalıdır ki bu da $\triangle ={\frac {\partial V}{\partial S}}$ verir. O zaman,

$\mathrm {d} P=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t$

elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani,

$\mathrm {d} P=rPdt=-rVdt+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}dt$

elde edilir. $\mathrm {d} P$ için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {S^{2}\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}-rV=0$

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre $\max(S_{T}-K,0)$ veya $\max(K-S_{T},0)$ olacaktır.

Ayrıca bakınız

• Feynman-Kac formülü