Saçılma parametreleri

Saçılma parametreleri veya S parametreleri (bir saçılma matrisi veya S matrisinin elemanları), sürekli hâlde elektrik sinyalleri ile uyarılmakta olan lineer elektrik devrelerinin davranışlarını tanımlayan parametreler. S parametreleri elektrik mühendisliği, elektronik mühendisliği, haberleşme sistemleri ve özellikle mikrodalga mühendisliğinde kullanılır.

S parametreleri benzer amaçlı parametrelerden oluşan bir ailenin üyesidir. Bu aileden diğer örnekler Y parametreleri, Z parametreleri, H parametreleri, T parametreleri ve ABCD parametreleri olarak sıralanabilir. S parametreleri, lineer devrenin davranışını karakterize etmek için, diğer örneklerden farklı olarak, açık veya kısa devre durumları yerine uygun yük durumunu kullanır.

Devre elemanlarının (endüktans, kondansatör, direnç), kazanç, geriye dönüş kaybı, gerilim duran dalga oranı, yansıma katsayısı ve kuvvetlendirici kararlılığı gibi birçok elektriksel özelliği, S parametreleri kullanılarak ifade edilebilir. Saçılma terimi, RF'ten daha çok optik mühendisliğinde kullanılır; bir düzlem elektromagnetik dalga engelle karşılaştığında veya farklı dielektrik ortamlar arasında geçiş yaptığında görülen etkiyi tanımlar. S parametleri bağlamında ise saçılma, bir iletim hattında ilerlemekte olan akım ve gerilimin, hattın bir devreyle kesintiye uğraması sonucu karşılaştıkları süreksizlikten etkilenmesi ifade edilir. Bu durum dalganın, hattın karakteristik empedansından farklı büyüklükte bir empedansla karşılaşmasına eşdeğerdir.

S parametreleri bütün frekanslarda geçerli olsa da, daha çok sinyal güç ve enerjisinin, akım ve gerilimlerden daha kolay hesaplandığı, radyo frekansı (RF) ve mikrodalga frekanslarında çalışan devrelerde kullanılır. S parametreleri frekansa bağlı değerlerdir. Bu sebeple verilen herhangi bir S parametresi değeri için, karakteristik empedans ve sistem empedansının yanında, parametrenin ölçüldüğü frekans değeri de belirtilmelidir.

S parametreleri kolaylıkla matris formunda yazılabilir ve üzerinde matris cebiri kuralları uygulanabilir.

Arka plan

S parametrelerin tanımı ilk defa Vitold Belevitch'in 1945 tarihli tezinde yer buldu. Toplu parametreleri devreleri sınırlı şekilde inceleyen Belevitch'in çalışmasında kullandığı isim, dağılım (repartition) matrisiydi. Saçılma matrisi terimi ise 1947 yılında, savaş döneminde, radarlar üzerine çalışan fizikçi mühendis Robert Henry Dicke tarafından, kendinden önceki yayınlardan bağımsız olarak ortaya kondu.

S parametreleri yaklaşımında, ele alınan devre içerisinde direnç, kondansatör, empedans ve transistörler gibi temel devre elemanları ve bağlantılarının bulunduğu, diğer devrelerle kapılar aracılığıyla etkileşim içindeki bir kara kutu olarak değerlendirilir. Devre karakteristiği saçılma matrisi adını alan kompleks elemanlı bir kare matrisle ifade edilir. Burada kapılara gelecek sinyallere verilecek cevap hesaplanabilir. S parametreleri tanımına göre, devre küçük işaretler için lineer davranışı sağlayacak her türlü elemanı içerebilir. Bunun yanında devre kuvvetlendiriciler, zayıflatıcılar, filtreler, kuplörler gibi standart blokları da içerebilir.

Davranışı S parametreleriyle tanımlanmış bir devrenin kapı sayısı için herhangi bir sınır yoktur. Kapılar elektriksel işaretlerin devreye girdiği veya devreden çıktığı noktalardır. Devre kapıları genellikle, birinden akımın girip, diğerinden aynı büyüklükte akımın çıktığı, iki uçtan oluşur S parametreleri kapıların daha çok koaksiyel veya dalga kılavuzu bağlantılara sahip olduğu frekanslarda kullanılır.

N kapılı bir devrenin saçılma matrisi N boyutlu bir kare matris olur; yani $N^{2}\,$ elemandan oluşur. Ölçüm frekansında her eleman, S parametresi, birimsiz bir kompleks sayıdır. Bu değer bir uzunluk, genlik ve açı, faz, ifade eder. Eldeki kompleks sayılar, kompleks veya polar koordinatlarla yazılabilir.

Bir devre için S parametreleri aşağıdaki büyüklüklerle birlikte belirlenmelidir:

1. Frekans
2. Karakteristik empedans (genelde 50 $\Omega$)
3. Kapı numaraları sıralaması
4. Devreyi etkileyebilecek, sıcaklık, kontrol gerilimi ve çalışma akımı gibi koşullar

Genel S parametreleri matrisi

Tanım

Genel çok kapılı bir devrede, her kapıya 1'den N'e kadar bir 'n' tam sayısı verilir; N toplam kapı sayısıdır. n. kapı için ilgili S parametresi, giden ve yansıyan 'güç dalgaları', $a_{n}\,$ ve $b_{n}\,$, cinsinden tanımlanır.

Kurokawa her kapı için giden dalgayı

$a={\frac {1}{2}}\,k(V+Z_{p}I)\,$

ve yansıyan dalgayı

$b={\frac {1}{2}}\,k(V-Z_{p}^{*}I)\,$

şeklinde tanımlar. Burada $Z_{p}\,$ her kapıya ait kompleks referans empedans değerlerinin köşegen matrisi, $Z_{p}^{*}\,$ bu matrisin, $Z_{p}\,$'nin, eleman bazında eşleniği, $V\,$ ile $I\,$ her kapıdaki gerilim ve akımların sütun matrisi ve

$k=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{p}\}\right|}}\right)^{-1}\,$'yi temsil eder.

Bazı durumlarda tüm kapıların referans empedans değerlerinin eşit olduğu kabul edilebilir. Bu takdirde giden ve yansıyan dalga ifadeleri

$a={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V+Z_{0}I)}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,$

ve

$b={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V-Z_{0}^{*}I)}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,$

şeklinde sadeleşir. Tüm kapılar için yansıyan güç dalgası, S matrisi ve giden güç dalgası cinsinden, aşağıdaki matris denklemiyle ifade edilebilir:

$b=Sa\,$

Burada S N x N'lik bir matristir; S'in elemanları bilinen matris notasyonu kullanılarak sütun ve satırlar ile de yazılabilir.

Resiprokluk

Bir devre pasif ve sadece resiprok malzemelerden oluşmuşsa resiprok olarak tanımlanır. Zayıflatıcılar, kabllar, dağıtıcı ve birleştiriciler bu tür yapılara örnek verilebilir. Resiprokluk halinde $S_{mn}=S_{nm}\,$ olur; başka bir ifadeyle S parametreleri matrisi transpozuna eşittir. Magnetik kutuplanmış ferrit gibi resiprok olmayan malzemeler içeren devreler ise resiprok olamaz. Resiprok olmayan devrelere başka bir örnek de kuvvetlendiricilerdir.

Kayıpsız devreler

Üzerinde hiç güç kaybı olmayan devreler kayıpsız olarak tanımlanır. Bu devreler için $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ yazılır. Tüm kapılardan giren güçlerin toplamı, tüm kapılardan yansıyan güçlerin toplamına eşit olacaktır. Bu durumda S matrisi üniterdir. Yani $(S)^{H}(S)=(I)\,$ yazılabilir; burada $(S)^{H}\,$ $(S)\,$'in eşlenik transpozu ve $(I)\,$ birim matristir.

Kayıplı devreler

Kapılarından giren güçlerin toplamı, yansıyan güçlerin toplamından küçük yapılar kayıplı devrelerdir. Devre üzerinde güç harcanır; $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ eşitsizliği vardır. Bu durumda $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ ve $(I)-(S)^{H}(S)\,$ ifadesi pozitif tanımlıdır.

İki kapılılarda S parametreleri

Ayrıca bakınız: İki kapılı devre

İki kapılı devrelerin saçılma matrisi en çok kullanılan ve aynı zamanda daha büyük devrelerin yüksek dereceli matrislerinin oluşturulmasında temel blok olan yapıdır. İkili kapılıda, giden ve yansıyan güç dalgaları ile saçılma matrisi arasında ilişki şöyle yazılır:

${\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,$

Matris denklemleri yazılırsa:

$b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,$

ve

$b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,$

elde edilir. Her iki denlem de devrenin kapılarından birindeki, 1 ve 2, giden ve yansıyan güç dalgası ilişkisini, devrenin S parametreleri, $S_{11}\,$, $S_{12}\,$, $S_{21}\,$ ve $S_{22}\,$ cinsinden açıklar. Denklemlere göre 1. kapıdan giren güç dalgası ($a_{1}\,$) ele alınırsa, dalganın kapının kendisinden ($b_{1}\,$) veya 2. kapıdan ($b_{2}\,$) çıktığı düşünülür. Ancak S parametrelerinin tanımına bakılırsa, 2. kapı sistem empedansına eşit ($Z_{0}\,$) bir yükle sonlandırılmıştır; yani maksimum güç transferi teoremine göre, $a_{2}\,$'nin sıfır olması dolayısıyla $b_{2}\,$'den çıkış olmayacaktır. Böylece

$S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}$ ve $S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,$

Benzer şekilde, eğer 1. kapı sistem empedansıyla sonlandırılmışsa $a_{1}\,$ sıfır olur, buradan

$S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,$ ve $S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,$

Her 2-kapılı için S parametreleri şunları ifade eder:

$S_{11}\,$ giriş kapısı gerilim yansıma katsayısı

$S_{12}\,$ geri yönde gerilim kazancı

$S_{21}\,$ ileri yönde gerilim kazancı

$S_{22}\,$ çıkış kapısı gerilim yansıma katsayısı