Sıra teorisi, ikili bağıntıları kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.

Örneksel yaklaşım

değiştir

Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir bağıntıyı içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama   bağıntısının soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, bağıntımıza R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

  • X kümesinin her a elemanı için R(a,a) bağıntısı sağlanmalıdır. (  şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a, b) ve R(b,a) bağıntıları sağlanıyorsa,   olmalıdır. (hem   hem de  sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi üç a, b ve c elemanı için hem R(a, b) hem de R(b,c) bağıntıları sağlanıyorsa, o zaman R(a,c) bağıntısı da sağlanmalıdır. (hem   hem de   ise   de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler

değiştir

(Doğal sayılar,   bağıntısı) -- (Rasyonel sayılar,   bağıntısı) -- (Reel sayılar,  bağıntısı) -- (Kümeler Uzayı*,   bağıntısı)


 Teknik olarak bir küme değildir. Ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama çeşitleri

değiştir
  • Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
  • Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a, b) ve R(b,a) bağıntılarından biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar,  ), (Rasyonel Sayılar,  ) ve (Reel Sayılar,  ) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı,   bağıntısı), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi   bağıntısına göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
  • Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sıralamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukarıdaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralama iken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların önemi

değiştir
  • Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki  " şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.
  • Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin   bağıntısına göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
  • Reel sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesini kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi rasyonel sayılar kümesinin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
  • İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.