Sönümlü poisson denklemi

Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :

$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} )$

biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada $\Delta$ Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

$u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$

Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u, f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λ'nın normal değerleri için çözüm sönümlü 1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G

$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).$

olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

$G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

$\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.$

r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası $k_{r}$ na dönüşür:

$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

$G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.$

Daha sonra problemin tümü için çözüm

$u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').$

olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta: Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir:

$\left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })$

burada $\Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }$ ve $\nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla$, $\mathbf {B}$ manyetik alana ve $\rho$ ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

$G(\mathbf {k_{\perp }} )=\int \int d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}$

Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile

$\left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1$

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\int \int \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.$

halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

$\mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))$

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası $k_{r}$ 'na dönüşür:

$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}e^{ik_{r}r_{\perp }}}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}.$

Ayrıca bakınız

• Yukawa Etkileşimi