Poincaré yinelenme teoremi

Teorem

Matematikteki Poincaré yinelenme teoremine göre, dinamikleri hacmini koruyan ve sınırlı mekansal hacimle sınırlanan bir sistem, yeterli süre sonra, baştaki durumuyla aynı olacak veya ona çok yakın bir biçimde yinelenecektir.

Teorem adını, 1890 yılında geliştiren Henri Poincaré'den alır.

Kesin Formülasyon

değiştir

Sıradan bir diferansiyel denklem tarafından tanımlanan herhangi bir dinamik sistem, kendi üzerinde faz uzayını haritalayan bir akış haritası belirler. Faz uzayındaki bir kümenin hacmi akış altında değişmez ise sistemin hacim koruyucu olduğu söylenir. Örneğin, tüm Hamilton sistemleri Liouville teoremi nedeniyle hacim koruyucudur. O halde teorem şudur: Eğer akış hacmi koruyorsa ve sadece sınırlı yörüngelere sahipse, bulunan her açık kümesi için o kümeyle sonsuz sıklıkta kesişen bir küme daha vardır.[1]

Kuantum mekaniksel versiyon

değiştir

Ayrık enerji öz durumlu zamandan bağımsız kuantum mekanik sistemler için benzer bir teorem geçerlidir. Her biri için   and   T'den daha büyük bir zaman vardır  , öyle ki  , nerede   t anında sistemin durum vektörünü gösterir.[2][3][4]

İspatın temel unsurları aşağıdaki gibidir. Sistem zamanla şunlara göre gelişir:

 

burada   enerji öz değerleri (doğal birimleri kullanıyoruz, bu nedenle  ) ve   enerji öz durumlarıdır. Zamandaki durum vektörünün farkının Kare normu   ve zaman sıfır, olarak yazılabilir:

 

Toplamı T'den bağımsız bir n = N de kesebiliriz, çünkü

 

N'yi artırarak keyfi olarak küçük yapılabilir;  , başlangıç durumunun kare normu olan 1'e yakınsar.

Sonlu toplam

 

aşağıdaki yapıya göre, t zamanının belirli seçimleri için keyfi olarak küçük yapılabilir. Keyfi bir seçim yapın   ve sonra tam sayılar olacak şekilde T'yi seçin   bu tatmin edici

 ,

tüm sayılar için  . Bu özel seçim için T,

 

bu nedenle,

 .

Durum vektörü   böylece keyfi olarak başlangıç durumuna yakın bir şekilde döndürür  .

Ayrıca bakınız

değiştir

Kaynakça

değiştir
  1. ^ Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (Ed.). Poincaré recurrence: Old and new. XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific. ss. 415-422. doi:10.1142/9789812704016_0039. ISBN 978-981-256-201-2. 
  2. ^ Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Quantum Recurrence Theorem". Phys. Rev. 107 (2): 337-338. Bibcode:1957PhRv..107..337B. doi:10.1103/PhysRev.107.337. 
  3. ^ Percival, I.C. (1961). "Almost Periodicity and the Quantal H theorem". J. Math. Phys. 2 (2): 235-239. Bibcode:1961JMP.....2..235P. doi:10.1063/1.1703705. 
  4. ^ Schulman, L. S. (1978). "Note on the quantum recurrence theorem". Phys. Rev. A. 18 (5): 2379-2380. Bibcode:1978PhRvA..18.2379S. doi:10.1103/PhysRevA.18.2379.