Laplasyen

Laplasyen $(\nabla ^{2}\phi )$, skaler bir $\phi \,$ alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

Kartezyen koordinat sisteminde

$\nabla ^{2}\phi =\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\phi )={\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\phi )$	$={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)$
	$={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

Küresel koordinat sisteminde

$\nabla ^{2}t={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial t}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial t}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial \phi ^{2}}}$

Silindirik koordinat sisteminde

$\nabla ^{2}t={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial t}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}t}{\partial z^{2}}}$

Tansör gösterimi

$\nabla ^{2}T=T_{,kk}$