Kerala astronomi ve matematik okulu

Kerala Astronomi ve Matematik Okulu
Kerala Astronomi ve Matematik Okulu
Türü	Astronomi, Matematik, Bilim
Müdür	Sangamagramalı Madhava
Adresi	Merkez ve Kuzey Kerala, Hindistan

Kerala astronomi ve matematik okulu veya Kerala Okulu, Sangamagramalı Madhava tarafından Tirur, Malappuram, Kerala, Hindistan'da kurulan ve üyeleri arasında Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri ve Achyuta Panikkar'ın da bulunduğu bir matematik ve astronomi okuludur. Okul, 14. ve 16. yüzyıllar arasında gelişti ve orijinal keşifleri Narayana Bhattathiri (1559-1632) ile sona ermiş gibi görünmektedir. Astronomi problemlerini çözmeye çalışan Kerala Okulu, bağımsız olarak bir dizi önemli matematiksel kavram da keşfetmiştir. En önemli sonuçları -trigonometrik fonksiyonlar için seri açılımı- Neelakanta'nın Tantrasangraha adlı kitabında Sanskritçe manzum olarak ve yine bu eser üzerine yazılmış, yazarı bilinmeyen Tantrasangraha-vakhya adlı bir şerhte açıklanmıştır. Teoremler ispatsız olarak ifade edilmiştir, ancak sinüs, kosinüs ve ters tanjant serileri için ispatlar bir yüzyıl sonra Jyesthadeva tarafından Malayalam dilinde yazılan Yuktibhasa (y. 1530) adlı eserde ve ayrıca Tantrasangraha üzerine bir yorumda verilmiştir.^[1]

Avrupa'da kalkülüsün icadından iki yüzyıl önce tamamlanan çalışmaları, günümüzde kuvvet serisinin (geometrik seriler dışında) ilk örneği olarak kabul edilen şeyi sağlamıştır.^[2]^[3]^[4]

Arka plan

İslam bilginleri, MS 1000'lerde polinomların integrallerini bulmak için neredeyse genel bir formül geliştirmişlerdi ve belli ki ilgilendikleri herhangi bir polinom için böyle bir formül bulabilirlerdi. Ancak, öyle görünüyor ki, en azından bize ulaşan kaynakların hiçbirinde, dörtten yüksek dereceli hiçbir polinomla ilgilenmemiş gibi görünmektedirler. Öte yandan Hint bilginler, 1600 yılı itibarıyla, ilgilendikleri fonksiyonlar için güç serilerini hesaplamada İbn el-Heysem'in keyfi integral güçler için toplam formülüne benzer bir formül kullanabiliyorlardı. Aynı zamanda, bu fonksiyonların diferansiyellerini nasıl hesaplayacaklarını da biliyorlardı. Yani kalkülüsün bazı temel fikirleri Newton'dan yüzyıllar önce Mısır ve Hindistan'da biliniyordu. Bununla birlikte, ne İslam ne de Hint matematikçileri bizim kalkülüs adı altında topladığımız bazı farklı fikirleri birbirine bağlama gerekliliğini görmemiş gibi görünüyor. Görünüşe göre sadece bu fikirlere ihtiyaç duyulan özel durumlarla ilgileniyorlardı.^[5]^[6]

Katkılar

Yuktibhasa adlı eserden sayfalar, y. 1530

Sonsuz seriler ve kalkülüs

Kerala Okulu, sonsuz seriler ve kalkülüs alanlarına bir dizi katkıda bulunmuştur. Bunlar aşağıdaki sonsuz geometrik serileri içerir:

{\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1

^[7]

Kerala Okulu, Tümevarım hipotezi henüz formüle edilmemiş veya ispatlarda kullanılmamış olmasına rağmen, matematiksel tümevarımı sezgisel olarak kullanmıştır.^[1] Bunu, sonucun yarı titiz bir ispatını keşfetmek için kullanmışlardır:

1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}

büyük n değerleri için.

$\sin x$ , $\cos x$ ve $\arctan x$ için (Taylor-Maclaurin) sonsuz seriler elde etmek için diferansiyel ve integral kalkülüsten fikirler uyguladılar.^[8] Tantrasangraha-vakhya matematiksel notasyona çevrildiğinde şu şekilde yazılabilecek olan seriyi dize olarak verir:^[1]

r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ burada }}{\frac {y}{x}}\leq 1.

r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots

r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots

Burada, $r=1,$ için seriler, örneğin bu trigonometrik fonksiyonlar için standart kuvvet serilerine indirgenir:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

ve

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

(Kerala Okulu, "faktöriyel" sembolizmini kullanmamıştır).

Kerala Okulu, bu sonuçların kanıtını vermek için bir dairenin yayının rektifikasyonundan (uzunluğunun hesaplanmasından) yararlanmıştır. (Leibniz'in daha sonra kullandığı kareleme yöntemi (yani dairenin yayı altındaki alanın hesaplanması) henüz geliştirilmemişti.)^[1] Ayrıca $\pi$ için sonsuz bir seri ifadesi (daha sonra Gregory serisi olarak bilinir) elde etmek için $\arctan x$ 'in seri açılımını kullandılar:^[1]

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots

Serilerinin sonlu toplamı için "hata" rasyonel yakınsamaları özellikle ilgi çekicidir. Örneğin, $f_{i}(n+1)$ , (n tek ve i = 1, 2, 3 için) serisi için hata:

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)

burada

f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.

${\frac {1}{n^{3}-n}}$ kısmi kesir açılımını kullanarak $\pi$ için daha hızlı yakınsayan bir seri elde etmek için terimleri değiştirdiler:^[1]

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots

Geliştirilmiş seriyi^[1] $\pi$ için dokuz ondalık basamağa kadar doğru olan ${\frac {104348}{33215}}$ rasyonel ifadesini, yani $3,141592653$ türetmek için kullandılar. Bu sonuçları hesaplamak için sezgisel bir limit kavramından yararlandılar.^[1] Kerala Okulu matematikçileri ayrıca bazı trigonometrik fonksiyonların^[9] türevi için yarı-titiz bir yöntem de verdiler, ancak fonksiyon kavramı ya da üstel veya logaritmik fonksiyonlar henüz formüle edilmemişti.

Tanınma

1825 yılında John Warren, Güney Hindistan'da zamanın bölünmesi üzerine Kala Sankalita adlı bir anı kitabı ^[10] yayınladı ve bu kitapta Kerala astronomlarının sonsuz serileri keşfettiğinden kısaca bahsedildi.

Kerala Okulunun çalışmaları Batı dünyası için ilk kez 1835 yılında İngiliz C. M. Whish tarafından kaleme alınmıştır. Whish'e göre, Kerala matematikçileri "tam bir akı sisteminin temelini atmışlardı" ve bu çalışmalar "yabancı ülkelerin hiçbir çalışmasında bulunmayan akı formları ve serileriyle" doluydu.^[11] Ancak Whish'in sonuçları, Kerala Okulunun keşiflerinin C. T. Rajagopal ve arkadaşları tarafından tekrar araştırıldığı bir asır sonrasına kadar neredeyse tamamen ihmal edilmiştir. Çalışmaları, iki makalede verilen Yuktibhasadaki arktan serisinin kanıtları üzerine yorumları ve arctan, sin ve kosinüs serileri için Tantrasangrahavakhya'nın Sanskritçe dizelerini sağlayan iki makaleyi^[12]^[13] Yuktibhasa'nın sinüs ve kosinüs serileri ispatı üzerine bir yorum^[14] içermektedir (İngilizce çeviri ve yorumla birlikte).^[15]^[16]

1952 yılında Otto E. Neugebauer, Tamil astronomisi üzerine yazdı.^[17]

1972 yılında K. V. Sarma, Kerala Hint Astronomi Okulunun Tarihi (A History of the Kerala School of Hindu Astronomy) adlı eserini yayınlamış ve bu eserde okulun 13. yüzyıldan 17. yüzyıla kadar bilgi aktarımının sürekliliği gibi özellikleri tanımlanmıştır: Govinda Bhattathiri'den Parameshvara'ya Damodara'dan Nilakantha Somayaji'ye Jyesthadeva'dan Acyuta Pisarati'ye. Öğretmenden öğrenciye aktarım, "basılı kitapların ve devlet okullarının çoğalmadığı bir zamanda astronomi gibi pratik, gösterici bir disiplinde" bilgiyi korumuştur.

1994 yılında güneş merkezli modelin Kerala'da MS. 1500 yıllarında benimsendiği ileri sürülmüştür.^[18]

Kerala Okulu sonuçlarının Avrupa'ya olası aktarımı

A. K. Bag, 1979'da bu sonuçlara ilişkin bilginin tüccarlar ve Cizvit misyonerleri tarafından Kerala'dan ticaret yolu ile Avrupa'ya aktarılmış olabileceğini öne sürmüştür.^[19] Kerala, Çin ve Arabistan ve Avrupa ile sürekli temas halindeydi. Bazı bilim insanlarının^[20]^[21] bazı iletişim yolları ve kronoloji önermesi böyle bir aktarımı mümkün kılabilir; ancak böyle bir aktarımın gerçekleştiğine dair ilgili el yazmaları yoluyla doğrudan bir kanıt yoktur.^[21]

David Bressoud'a göre, "Hint dizi çalışmalarının on dokuzuncu yüzyıla kadar Hindistan dışında, hatta Kerala dışında bilindiğine dair hiçbir kanıt yoktur".^[8]^[22] V. J. Katz, Kerala okulunun bazı fikirlerinin 11. yüzyıl Iraklı bilgin İbn el-Heysem'in çalışmalarıyla benzerlikler taşıdığını belirtmektedir,^[9] bu da fikirlerin Orta Çağ İslam matematiğinden Kerala'ya aktarılmış olabileceğini düşündürmektedir.^[23]

Hem Hint hem de Arap bilginleri 17. yüzyıldan önce bugün kalkülüsün bir parçası olarak kabul edilen keşiflerde bulunmuşlardır.^[9] Katz'a göre, Newton ve Leibniz gibi, "birçok farklı fikri türev ve integral gibi iki birleştirici tema altında bir araya getiren, ikisi arasındaki bağlantıyı gösteren ve kalkülüsü bugün sahip olduğumuz büyük problem çözme aracına dönüştüren" henüz onlar değildi.^[9] Hem Newton hem de Leibniz'in entelektüel kariyerleri iyi belgelenmiştir ve çalışmalarının kendilerine ait olmadığına dair hiçbir belirti yoktur;^[9] ancak, Newton ve Leibniz'in yakın "seleflerinin", "özellikle Fermat ve Roberval dahil olmak üzere, İslam ve Hint matematikçilerinin bazı fikirlerini şu anda bilmediğimiz kaynaklar aracılığıyla öğrenip öğrenmedikleri" kesin olarak bilinmemektedir.^[9] Bu, özellikle İspanya ve Mağrip'in el yazması koleksiyonlarında, şu anda diğer yerlerin yanı sıra Paris'teki Centre national de la recherche scientifique'de sürdürülen aktif bir araştırma alanıdır.^[9]

Ayrıca bakınız

Notlar

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291–306.
^ Stillwell 2004, s. 173
^ Bressoud 2002, s. 12 Alıntı: "Seriler üzerine Hint çalışmalarının 19. yüzyıla kadar Hindistan dışında, hatta Kerala dışında bilindiğine dair hiçbir kanıt yoktur. Gold ve Pingree, [4] bu serilerin Avrupa'da yeniden keşfedildiğinde, Hindistan'da tamamen kaybolmuş olduğunu ileri sürmektedir. Sinüs, kosinüs ve yay tanjantının açılımları birkaç kuşaktan öğrenciye aktarılmıştı, ancak kimsenin pek kullanamadığı kısır gözlemler olarak kaldılar."
^ Plofker 2001, s. 293 Alıntı: "Hint matematiği tartışmalarında "türev kavramının Manjula'nın (... 10. yüzyılda) zamanından itibaren [Hindistan'da] anlaşıldığı" [Joseph 1991, 300] veya "Madhava'yı matematiksel analizin kurucusu olarak kabul edebiliriz" (Joseph 1991, 293) veya Bhaskara II'nin "diferansiyel hesap ilkesinin keşfinde Newton ve Leibniz'in öncüsü" (Bag 1979, 294) olduğu gibi iddialarla karşılaşmak alışılmadık bir durum değildir. ... Özellikle erken dönem Avrupa kalkülüsü ile Kerelilerin kuvvet serileri üzerine çalışmaları arasındaki benzerlik noktaları, matematiksel fikirlerin 15. yüzyılda veya sonrasında Malabar kıyılarından Latin bilim dünyasına olası bir aktarımına dair önerilere bile ilham vermiştir (örneğin, (Bag 1979, 285)). ... Bununla birlikte, Sanskrit (veya Malayalam) ve Latin matematiğinin benzerliğine yapılan bu tür bir vurgunun, ilkini tam olarak görme ve kavrama yeteneğimizi azaltma riski taşıdığı unutulmamalıdır. Hintlilerin "diferansiyel hesap ilkesini keşfinden" söz etmek, gördüğümüz örneklerde olduğu gibi, Sinüsteki değişiklikleri Kosinüs aracılığıyla ya da tam tersi şekilde ifade etmeye yönelik Hint tekniklerinin bu özel trigonometrik bağlam içinde kaldığı gerçeğini bir şekilde gizler. Diferansiyel "ilkesi" keyfi fonksiyonlara genelleştirilmemiştir - aslında, türevinden veya türev almak için bir algoritmadan bahsetmeksizin, keyfi bir fonksiyonun açık nosyonu burada konu dışıdır"
^ Pingree 1992, s. 562 Alıntı: "Size verebileceğim bir örnek, Hintli Mādhava'nın M.S. 1400'lerde geometrik ve cebirsel argümanlar kullanarak trigonometrik fonksiyonların sonsuz kuvvet serilerini göstermesiyle ilgilidir. Bu, 1830'larda Charles Whish tarafından İngilizce olarak ilk kez tanımlandığında, Hintlilerin kalkülüsü keşfi olarak müjdelendi. Bu iddia ve Mādhava'nın başarıları Batılı tarihçiler tarafından görmezden gelindi, muhtemelen ilk başta bir Hintlinin kalkülüsü keşfettiğini kabul edemedikleri için, ancak daha sonra Whish'in makalesinin yayınlandığı "Transactions of the Royal Asiatic Society "yi artık kimse okumadığı için. Konu 1950'lerde yeniden gündeme geldi ve şimdi elimizde Sanskritçe metinler düzgün bir şekilde düzenlenmiş durumda ve Mādhava'nın seriyi kalkülüs "olmadan" elde etmesinin zekice yolunu anlıyoruz; ancak birçok tarihçi hala problemi ve çözümünü kalkülüsten başka bir şey açısından düşünmeyi imkansız buluyor ve kalkülüsün Mādhava'nın bulduğu şey olduğunu ilan ediyor. Bu durumda Mādhava'nın matematiğinin zarafeti ve parlaklığı, onun alternatif ve güçlü bir çözüm keşfettiği bir sorunun mevcut matematiksel çözümünün altına gömüldüğü için çarpıtılmaktadır."
^ Katz 1995, ss. 173–174 Alıntı: "İslam ve Hint bilginleri kalkülüsü icat etmeye ne kadar yaklaştılar? İslam âlimleri M.S. 1000 yılında polinomların integrallerini bulmak için neredeyse genel bir formül geliştirmişlerdi -ve belli ki ilgilendikleri herhangi bir polinom için böyle bir formül bulabilirlerdi. Ancak, öyle görünüyor ki, en azından bize ulaşan materyallerin hiçbirinde, dörtten daha yüksek dereceli hiçbir polinomla ilgilenmemişlerdir. Öte yandan Hintli bilginler, 1600'lere gelindiğinde, ilgilendikleri fonksiyonlar için güç serilerini hesaplamada ibn el-Heysem'in keyfi integral güçleri için toplam formülünü kullanabiliyorlardı. Aynı zamanda, bu fonksiyonların diferansiyellerini nasıl hesaplayacaklarını da biliyorlardı. Yani kalkülüsün bazı temel fikirleri Newton'dan yüzyıllar önce Mısır ve Hindistan'da biliniyordu. Bununla birlikte, ne İslam ne de Hint matematikçileri bizim kalkülüs adı altında topladığımız bazı farklı fikirleri birbirine bağlama gerekliliğini görmüş gibi görünmüyor. Görünüşe göre sadece bu fikirlere ihtiyaç duyulan özel durumlarla ilgilenmişlerdir.
Bu nedenle, Newton ve Leibniz'in kalkülüsü icat ettiği ifadesini kaldırmak için tarih metinlerini yeniden yazmak zorunda kalmamız gibi bir tehlike yoktur. Pek çok farklı fikri türev ve integral gibi iki birleştirici tema altında bir araya getirebilen, aralarındaki bağlantıyı gösterebilen ve kalkülüsü bugün sahip olduğumuz büyük problem çözme aracına dönüştürebilenler kesinlikle onlardı."
^ Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. Cilt 1. ss. 606-628. doi:10.1086/368443.
^ ^a ^b Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2–13.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." (pdf 8 Aralık 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.) Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.
^ John Warren (1825) A Collection of Memoirs on Various Modes According to which Nations of the Southern Part of India Divide Time 28 Mayıs 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. from Google Books
^ Whish, Charles M. (1835). "XXXIII. On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, the Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamáka". Transactions of the Royal Asiatic Society. Cilt 3. ss. 509-523.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949). "A Neglected Chapter of Hindu Mathematics". Scripta Mathematica. Cilt 15. ss. 201-209.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951). "On the Hindu proof of Gregory's series". Scripta Mathematica. Cilt 17. ss. 65-74.
^ Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "The sine and cosine power series in Hindu mathematics". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science). Cilt 15. ss. 1-13.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977). "On an untapped source of medieval Keralese mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 18 (2). ss. 89-102. doi:10.1007/BF00348142.
^ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986). "On Medieval Kerala Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 35 (2). ss. 91-99. doi:10.1007/BF00357622.
^ Otto E. Neugebauer (1952) "Tamil Astronomy", Osiris 10: 252–76
^ K. Ramasubramanian, M. D. Srinivas & M. S. Sriram (1994) Modification of the earlier Indian planetary theory by the Kerala astronomers (c. 1500 A.D.) and the implied heliocentric picture of planetary motion, Current Science 66 (10) 24 Ağustos 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.: 784–90
^ A. K. Bag (1979) Mathematics in ancient and medieval India. Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. page 285.
^ Raju, C. K. (2001). "Computers, Mathematics Education, and the Alternative Epistemology of the Calculus in the Yuktibhasa". Philosophy East and West. 51 (3). ss. 325-362. doi:10.1353/pew.2001.0045.
^ ^a ^b Almeida, D. F.; John, J. K.; Zadorozhnyy, A. (2001). "Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications". Journal of Natural Geometry. Cilt 20. ss. 77-104.
^ Gold, D.; Pingree, D. (1991). "A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine". Historia Scientiarum. Cilt 42. ss. 49-65.
^ Katz 1995, s. 174.

Kaynakça

Bressoud, David (2002), "Was Calculus Invented in India?", The College Mathematics Journal, 33 (1), ss. 2-13, doi:10.2307/1558972, JSTOR 1558972 .
Gupta, R. C. (1969) "Second Order of Interpolation of Indian Mathematics", Indian Journal of History of Science 4: 92-94
Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", Grattan-Guinness, Ivor (Ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, ISBN 0-8018-7396-7 .
Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8 .
Katz, Victor J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine, 68 (3), ss. 163-174, doi:10.2307/2691411, JSTOR 2691411 .
Parameswaran, S. (1992) "Whish's showroom revisited", Mathematical Gazette 76, no. 475 pages 28–36
Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis, 83 (4), ss. 554-563, Bibcode:1992Isis...83..554P, doi:10.1086/356288, JSTOR 234257
Plofker, Kim (1996), "An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text", Historia Mathematica, 23 (3), ss. 246-256, doi:10.1006/hmat.1996.0026  .
Plofker, Kim (2001), "The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine", Historia Mathematica, 28 (4), ss. 283-295, doi:10.1006/hmat.2001.2331  .
Plofker, K. (20 Temmuz 2007), "Mathematics of India", Katz, Victor J. (Ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages (2007 tarihinde yayınlandı), ss. 385-514, ISBN 978-0-691-11485-9 .
C. K. Raju. 'Computers, mathematics education, and the alternative epistemology of the calculus in the Yuktibhâsâ', Philosophy East and West 51, University of Hawaii Press, 2001.
Roy, Ranjan (1990), "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha", Mathematics Magazine, 63 (5), ss. 291-306, doi:10.2307/2690896, JSTOR 2690896 .
Sarma, K. V.; Hariharan, S. (1991). "Yuktibhasa of Jyesthadeva : a book of rationales in Indian mathematics and astronomy – an analytical appraisal". Indian J. Hist. Sci. 26 (2). ss. 185-207.
Singh, A. N. (1936), "On the Use of Series in Hindu Mathematics", Osiris, cilt 1, ss. 606-628, doi:10.1086/368443, JSTOR 301627
Stillwell, John (2004), Mathematics and its History, 2, Berlin and New York: Springer, 568 pages, ISBN 0-387-95336-1 .
Tacchi Venturi. 'Letter by Matteo Ricci to Petri Maffei on 1 Dec 1581', Matteo Ricci S.I., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610, vol. 2, Macerata, 1613.

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Kerala astronomi ve matematik okulu ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "An overview of Indian mathematics", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Keralese mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
"Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007

[roy-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291–306.

[2] Stillwell 2004, s. 173

[3] Bressoud 2002, s. 12 Alıntı: "Seriler üzerine Hint çalışmalarının 19. yüzyıla kadar Hindistan dışında, hatta Kerala dışında bilindiğine dair hiçbir kanıt yoktur. Gold ve Pingree, [4] bu serilerin Avrupa'da yeniden keşfedildiğinde, Hindistan'da tamamen kaybolmuş olduğunu ileri sürmektedir. Sinüs, kosinüs ve yay tanjantının açılımları birkaç kuşaktan öğrenciye aktarılmıştı, ancak kimsenin pek kullanamadığı kısır gözlemler olarak kaldılar."

[4] Plofker 2001, s. 293 Alıntı: "Hint matematiği tartışmalarında "türev kavramının Manjula'nın (... 10. yüzyılda) zamanından itibaren [Hindistan'da] anlaşıldığı" [Joseph 1991, 300] veya "Madhava'yı matematiksel analizin kurucusu olarak kabul edebiliriz" (Joseph 1991, 293) veya Bhaskara II'nin "diferansiyel hesap ilkesinin keşfinde Newton ve Leibniz'in öncüsü" (Bag 1979, 294) olduğu gibi iddialarla karşılaşmak alışılmadık bir durum değildir. ... Özellikle erken dönem Avrupa kalkülüsü ile Kerelilerin kuvvet serileri üzerine çalışmaları arasındaki benzerlik noktaları, matematiksel fikirlerin 15. yüzyılda veya sonrasında Malabar kıyılarından Latin bilim dünyasına olası bir aktarımına dair önerilere bile ilham vermiştir (örneğin, (Bag 1979, 285)). ... Bununla birlikte, Sanskrit (veya Malayalam) ve Latin matematiğinin benzerliğine yapılan bu tür bir vurgunun, ilkini tam olarak görme ve kavrama yeteneğimizi azaltma riski taşıdığı unutulmamalıdır. Hintlilerin "diferansiyel hesap ilkesini keşfinden" söz etmek, gördüğümüz örneklerde olduğu gibi, Sinüsteki değişiklikleri Kosinüs aracılığıyla ya da tam tersi şekilde ifade etmeye yönelik Hint tekniklerinin bu özel trigonometrik bağlam içinde kaldığı gerçeğini bir şekilde gizler. Diferansiyel "ilkesi" keyfi fonksiyonlara genelleştirilmemiştir - aslında, türevinden veya türev almak için bir algoritmadan bahsetmeksizin, keyfi bir fonksiyonun açık nosyonu burada konu dışıdır"

[5] Pingree 1992, s. 562 Alıntı: "Size verebileceğim bir örnek, Hintli Mādhava'nın M.S. 1400'lerde geometrik ve cebirsel argümanlar kullanarak trigonometrik fonksiyonların sonsuz kuvvet serilerini göstermesiyle ilgilidir. Bu, 1830'larda Charles Whish tarafından İngilizce olarak ilk kez tanımlandığında, Hintlilerin kalkülüsü keşfi olarak müjdelendi. Bu iddia ve Mādhava'nın başarıları Batılı tarihçiler tarafından görmezden gelindi, muhtemelen ilk başta bir Hintlinin kalkülüsü keşfettiğini kabul edemedikleri için, ancak daha sonra Whish'in makalesinin yayınlandığı "Transactions of the Royal Asiatic Society "yi artık kimse okumadığı için. Konu 1950'lerde yeniden gündeme geldi ve şimdi elimizde Sanskritçe metinler düzgün bir şekilde düzenlenmiş durumda ve Mādhava'nın seriyi kalkülüs "olmadan" elde etmesinin zekice yolunu anlıyoruz; ancak birçok tarihçi hala problemi ve çözümünü kalkülüsten başka bir şey açısından düşünmeyi imkansız buluyor ve kalkülüsün Mādhava'nın bulduğu şey olduğunu ilan ediyor. Bu durumda Mādhava'nın matematiğinin zarafeti ve parlaklığı, onun alternatif ve güçlü bir çözüm keşfettiği bir sorunun mevcut matematiksel çözümünün altına gömüldüğü için çarpıtılmaktadır."

[6] Katz 1995, ss. 173–174 Alıntı: "İslam ve Hint bilginleri kalkülüsü icat etmeye ne kadar yaklaştılar? İslam âlimleri M.S. 1000 yılında polinomların integrallerini bulmak için neredeyse genel bir formül geliştirmişlerdi -ve belli ki ilgilendikleri herhangi bir polinom için böyle bir formül bulabilirlerdi. Ancak, öyle görünüyor ki, en azından bize ulaşan materyallerin hiçbirinde, dörtten daha yüksek dereceli hiçbir polinomla ilgilenmemişlerdir. Öte yandan Hintli bilginler, 1600'lere gelindiğinde, ilgilendikleri fonksiyonlar için güç serilerini hesaplamada ibn el-Heysem'in keyfi integral güçleri için toplam formülünü kullanabiliyorlardı. Aynı zamanda, bu fonksiyonların diferansiyellerini nasıl hesaplayacaklarını da biliyorlardı. Yani kalkülüsün bazı temel fikirleri Newton'dan yüzyıllar önce Mısır ve Hindistan'da biliniyordu. Bununla birlikte, ne İslam ne de Hint matematikçileri bizim kalkülüs adı altında topladığımız bazı farklı fikirleri birbirine bağlama gerekliliğini görmüş gibi görünmüyor. Görünüşe göre sadece bu fikirlere ihtiyaç duyulan özel durumlarla ilgilenmişlerdir.
Bu nedenle, Newton ve Leibniz'in kalkülüsü icat ettiği ifadesini kaldırmak için tarih metinlerini yeniden yazmak zorunda kalmamız gibi bir tehlike yoktur. Pek çok farklı fikri türev ve integral gibi iki birleştirici tema altında bir araya getirebilen, aralarındaki bağlantıyı gösterebilen ve kalkülüsü bugün sahip olduğumuz büyük problem çözme aracına dönüştürebilenler kesinlikle onlardı."

[singh-7] Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. Cilt 1. ss. 606-628. doi:10.1086/368443.

[bressoud-8] Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2–13.

[katz-9] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." (pdf 8 Aralık 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.) Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.

[10] John Warren (1825) A Collection of Memoirs on Various Modes According to which Nations of the Southern Part of India Divide Time 28 Mayıs 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. from Google Books

[whish-11] Whish, Charles M. (1835). "XXXIII. On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, the Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamáka". Transactions of the Royal Asiatic Society. Cilt 3. ss. 509-523.

[12] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949). "A Neglected Chapter of Hindu Mathematics". Scripta Mathematica. Cilt 15. ss. 201-209.

[13] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951). "On the Hindu proof of Gregory's series". Scripta Mathematica. Cilt 17. ss. 65-74.

[14] Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "The sine and cosine power series in Hindu mathematics". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science). Cilt 15. ss. 1-13.

[15] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977). "On an untapped source of medieval Keralese mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 18 (2). ss. 89-102. doi:10.1007/BF00348142.

[16] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986). "On Medieval Kerala Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 35 (2). ss. 91-99. doi:10.1007/BF00357622.

[17] Otto E. Neugebauer (1952) "Tamil Astronomy", Osiris 10: 252–76

[18] K. Ramasubramanian, M. D. Srinivas & M. S. Sriram (1994) Modification of the earlier Indian planetary theory by the Kerala astronomers (c. 1500 A.D.) and the implied heliocentric picture of planetary motion, Current Science 66 (10) 24 Ağustos 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.: 784–90

[19] A. K. Bag (1979) Mathematics in ancient and medieval India. Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. page 285.

[20] Raju, C. K. (2001). "Computers, Mathematics Education, and the Alternative Epistemology of the Calculus in the Yuktibhasa". Philosophy East and West. 51 (3). ss. 325-362. doi:10.1353/pew.2001.0045.

[almeida-21] Almeida, D. F.; John, J. K.; Zadorozhnyy, A. (2001). "Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications". Journal of Natural Geometry. Cilt 20. ss. 77-104.

[gold-22] Gold, D.; Pingree, D. (1991). "A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine". Historia Scientiarum. Cilt 42. ss. 49-65.

[23] Katz 1995, s. 174.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]