Spektral yoğunluk

Güç spektrumunun $S_{xx}(f)$ zaman serileri $x(t)$ bu sinyale sebep olan frekans bileşenlerinin dağılımını tanımlar. Fourier analizine göre herhangi bir fiziksel sinyal, farklı frekanslara ayrışabilir ya da devamlı bir sıra boyunca frekans spektrumlarına dönüşebilir. Belirli bir sinyal veya herhangi bir sinyal çeşitlerinin (gürültü de dahil) istatistiksel ortalaması içerdiği frekans bileşenlerine göre analiz edilir.Buna da spektrum denir.

Floresan lambanın spektral yoğunluğunu optiksel dalga boyu fonksiyonu olarak gösteren grafik. Oklarla belirtilen tepe noktaları atomik dönüşümlerini gösterir.

Belli bir zaman aralığı boyunca oluşan ses dalga oluşumunun (solda) yayılan işitsel güç spektrumu (tayf) (sağda).

Sinyalin enerjisi bir sınırlı bir zaman aralığında yoğunlaştırıldığında özellikle de toplam enerjisini sınırlıysa bunun spektral enerji yoğunluğu ölçülebilir. Daha sık kullanılan ismiyle spektral güç yoğunluğu (kısaca güç spektrumu) sinyaller varolduğu sürece uygulanır veya belli bir zaman dilimi boyunca yüksek miktarda (özellikle heplama süresince) sınırsız zaman dilimi boyunca uygulanır. Spektral güç yoğunluğu (PSD) spektral enerji dağılımıyla ilgilidir ve her bir birim zamanda bulunabilir. Çünkü böyle bir sinyalin toplam enerjisi tüm zaman boyunca genelde sonsuzdur. Spektral bileşenlerin toplam gücünün (fiziksel süreç için) veya varyansın (istatistiksel süreç için) toplamı ya da integrasyonu, $x^{2}(t)$‘nin zaman aralığındaki integrasyonundan elde edilecek değere eşdeğerdir, tıpkı Parseval Teorisi’nin belirttiği gibi.

Bir fiziksel sürecin spektrumu $x(t)$, genellikle $x$’in doğasıyla ilgili gerekli bilgi taşır. Örnek olarak, bir müzikal enstrümanın perdesi (bir müzik parçasını oluşturan seslerden her birinin kalınlık veya incelik derecesi) spektral analiz yöntemiyle anında tespit edilebilir. Işık kaynağının rengi elektromanyetik dalgaların elektrik alanının $E(t)$ aşırı yüksek frekansta dalgalanmasıyla belirlenebilir. Fourier dönüşümündeki gibi zaman serilerinden spektrum elde etmek ve Fourier analizine dayalı genellemelerle elde edilir. Çoğu durumlarda zaman değerleri spesifik olarak kullanılmaz. Örneğin ışık ayrıştırıcı prizma, ışık spektrumu elde etmek için spektografide kullanılır veya bir ses iç kulağın işitsel algı reseptörleri (her biri belirli bir frekansa karşı duyarlıdır) tarafından algılandığı zaman bu reseptörler boyunca bir etki oluşturur.

Fakat bu makale zaman serilerinin bilindiği (en az istatistiksel algı) veya doğrudan ölçülebilen durumlar üzerinde durmaktadır (herhangi bir bilgisayarın mikrofunu gibi). Güç spektrumu, fizik ve mühendislik branşlarında olduğu kadar istatistiksel sinyal sürecinde ve istatistiksel çalışmada çok önemlidir. Tipik olarak bu süreç zamana bağlı bir işlemdir fakat uzamsal frekanslara ayrılmış uzamsal veriler tartışılabilir.

Açıklaması

Genlik olarak gösterilebilecek her sinyal zamana bağlı olarak değişir ve buna uygun bir frekans spectrumu vardır.Bunlar günlük hayattan aşina olduğumuz görülebilen ışık (renk olarak algılanan), müzikal notlar (perde olarak algılanan), radyo/televizyon (frekansları tarafından belirlenen veya bazen dalga boylarıyla) ve hatta Dünya’nın düzenli dönüşü bile olabilir. Bu sinyaller frekans spektrum formu olarak incelendiğinde alınan sinyallerin belirli yönleri veya sürecin altında yatan üretimle açıpa çıkarılırlar. Bazı durumlarda frekans spekturumunun içerdiği belirgin zirveleri sinüs dalga bileşenine karşılık gelebilir.Ek olarak bazı dalgalar harmonik hareketin temel zirvelerine karşılık gelebilir.Bu belirtmiş olduğu periyodik sinyal sinüs eğrisi şeklinde olmayabilir.Devamlı bir spektrum olduşka gelişmiş dar frekans aralığı gösterebilir ki bu da rezonansa tekabül eder veya frekans aralıkları çeltik filtresinde üretildiği gibi çoğunlukla sıfır güç bulundururlar.

Fizikte, sinyal elektromanyetik bir dalga, akustik bir dalga veya bir mekanizmanın titreşimi gibi bir çeşit dalga olabilir. Bir sinyalin spektral güç yoğunluğu(PSD), gücü sinyal olarak frekans fonksiyonun birim başına frekansı olarak tanımlar. Spektral güç yoğunluğu hertz başına watt olarak ifade edilir (W/Hz).

Bir sinyal sadece voltaj cinsinden ifade edildiğinde bu durumda belirli bir şiddete bağlı herhangi özgün bir güç olmaz. Güç basit olarak sinyalin karesiyle hesaplanır. Çünkü bu her zaman sinyalin empedansa verdiği asıl verilen güçle orantılıdır. Belirtilmiş herhangi bir güç veya enerji olmamasına rağmen biri spektral güç yoğunluğu için birim olarak V² Hz⁻¹ (Voltajın karesi kere frekans) kullanırken diğeri spektral enerji yoğunluğu için V² s Hz⁻¹ (voltajın karesi kere süre(saniye) kere frekans) kullanır.

Bazen biri spektral şiddet yoğunluğuyla karşılaşabilir ki bu spektral güç yoğunluğunun kare köküne eşittir. Voltaj sinyalinin spektral şiddet yoğunluğunun birimi V Hz^−1/2(voltaj kere frekansın karekökü) olarak kullanılır. Eğer spektrumun şekli sabitse bu kullanışlıdır.Çünkü spektral şiddet yoğunluğundaki (ASD) çeşitlilikler sinyal seviyesindeki çeşitliliklerle doğru orantılı olacaktır.Fakat matematiksel olarak spektral güç yoğunluğu tercih edilir çünkü sadece bu durumda grafik altındaki alan asıl gücün bütünüyle frekans ya da belirtilmiş bant aralığında kullanıldığında anlamlı olur.

Rastgele yapılan titreşim analizlerinde spektral güç yoğunluğunın ivmelenmesi için sıklıkla ² Hz⁻¹ (yerçekimi ivmesinin karesi kere frekans) formülü kullanılır.

Matematiksel olarak sinyal veya bağımsız değişkenler için fiziksel boyutların kullanılmasına gerek yoktur. İlerleyen tartışmalarda x(t)'in anlamını belirtilmemiş kalacak.Fakat bağımsız değişken, zaman o olarak kabul edilecektir.

Spektral Enerji Yoğunluğu

Spektral enerji yoğunluğu, sinyalin veya zaman serilerinin enerjisinin frekansla nasıl dağıtıldığını açıklar. Burada enerji terimi genelleştirilmiş sinyal sürecinin algısında kullanılır. Buna göre sinyalin enerjisi $x(t)$ ; $\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt.$ ‘ile gösterilir.

Spektral enerji yoğunluğu geçici olaylar için uygundur.Örneğin,toplam enerjisi sınırlı olan sinyal gibi titreşimler.Bu olayda Parseval’ın Teorisi, sinyalin enerjisi için bize Fourier dönüşümü cinsinden yeni bir ifade verir. ${\hat {x}}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ift}x(t)dt.$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}(f)|^{2}\,df.$

Buradaki $f$ Hz(Hertz) ‘ yi ifade eder,saniyede yapılan devir sayısı.Genelde kullanılan cinsi açısal hızlı olanıdır $\omega =2\pi f$.Sağ tarafın integrali bize sinyalin enerjisini verir.$|{\hat {x}}(f)|^{2}$‘in intregralinin alınmış hali sinyalin birim frekanstaki enerjisini tanımlayan yoğunluk fonksiyonu olarak yorumlanabilir.Bunun ışığında bir sinyalin spektral enerji yoğunluğu $x(t)$

$S_{xx}(f)=|{\hat {x}}(f)|^{2}$

Fiziksel bir örnek olarak bir sinyalin spektral enerji yoğunluğunu ele alırsak, elektriksel darbenin potansiyeli $V(t)$ empedansın $Z$ iletim hattı boyunca yayılır ve bu hat sonuna bağlanan direçle sonlandırılır.Böyle bütün darbe enerji dirence aktarılır ve hiçbiri geri yansıtılmaz.Ohm Yasası ile $t$ zamanda dirence aktarılan güç $V(t)^{2}/Z$ ‘ ye eşit olur.Böylece sistemin toplam enerjisi $V(t)^{2}/Z$ ’nin zamana bağlı integralinin alınmasıyla bulunur.Spektral enerji yoğunluğu $S_{xx}(f)$ nun $f$ frekansındaki enerjisini bulmak için frekansa ilginin yakın olduğu iletim hattı ile direnç arasına sadece dar aralıklı frekansları geçiren dalga geçirici filtre konulmalıdır ve sistemin alıcıdan geçen dağılmış toplam enerjisi $E(f)$ hesaplanır.Spektral enerji yoğunluğunun değeri $E(f)/\Delta f$olarak tahmin edilir.Güç $V(t)^{2}/Z$ olarak (birimi V² Ω⁻¹),enerji $E(f)$ olarak (birimi V² s Ω⁻¹ = J) olarak alındığında spektral enerji yoğunluğu $E(f)/\Delta f$ nun birimi J Hz⁻¹ olur(Joule kere frekans).

Spektral Güç Yoğunluğu Yukarıda belirtilen spektral enerji yoğunluğuyla iligi tanımlar geçici dalgalar(darbe-sinyaller gibi) için uygundur ve Fourier dönüşümü sinyaller genellikle bulunurlar. Tüm zaman boyuncaki sürekli sinyaller için örneğin sabit süreçte bir tanesi mutlaka spektral güç yoğunluğu (PSD) olarak belirtilmelidir.Bu sayede önceki örnekte de olduğu gibi sinyalin gücü ya da zaman serilerinin belli bir frekans boyunca nasıl dağıtıldığını anlayabiliriz.Burada güç,fiziksel bir güçtür ya da daha sık olarak sinyalin karesiyle özdeşleşmiştir ve ayrıca soyut sinyaller için kolaylık sağlanır.Örneğin istatistikçiler fonksiyonun zamana bağlı değişimini x(t) (veya başka bir bağımsız denklem üzerine) çalışıyorlar ve elektrik sinyalleriyle analoji(iki farklı şey arasındaki benzerlik veya benzerliklerden hareket edilerek birincisi için dile getirilenlerin diğeri için de söz konusu olduğunu ileri sürme) kullanıyorlar(diğer fiziksel süreçler arasında da).Sistemde herhangi bir fiziksel güç içeren bir şey olamasa bile geleneksel olarak güç spektrumuna denk gelir.Eğer herhangi biri x(t)) ile takip eden fiziksel voltaj kaynağı oluşturursa ve uç bölümleri 1 ohm ‘luk bir dirence maruz bırakılırsa dirençteki anlık dağıtılmış güç x² watt olarak ifade edilir.

Bir sinyalin$x(t)$bütün zaman aralığı boyunca ortalama gücü P ortalama zaman ile verilir:

$P=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}\,dt.$

Örnek olarak durağan süreçlerde sonsuz enerji bulunmasına rağmen sınırlı güç bulunabilir.Bütün bunlardan sonra enerji gücün integral alınmış halidir ve durağan(sabit) sinyal sonsuz zaman diliminde süreklidir. Bu yüzdendir ki spektral enerji yoğunluğunu yukarıda belirtilen durumlardaki gibi kullanamayız.

Herhangi bir sinyalin $x(t)$ frekans bileşenlerini kontrol ederken herhangi bir sinyalin hesaplanması sıradan bir Fourier Dönüşümü’ne benzer ${\hat {x}}(\omega )$ .Fakat çoğu Fourier Dönüşümü’yle ilgili sinyaller aslında hiç var olmamışlardır.Çünkü bu karmaşıklık kesik Fourier dönüşümüyle ${\hat {x}}_{T}(\omega )$ daha iyi çalışır.Fourier dönüşümünde sinyalin sadece [0, T] kapalı aralığında integrali alınır.

${\hat {x}}_{T}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-i\omega t}\,dt.$

Ve sonrasında spektral güç yoğunluğu

$S_{xx}(\omega )=\lim _{T\rightarrow \infty }\mathbf {E} \left[|{\hat {x}}_{T}(\omega )|^{2}\right].$

Olarak ifade edilir.Buradaki E beklenen değeri belirtir.Sonra elimize aşağıdaki gibi bir fonksiyon geçer.

$\mathbf {E} \left[|{\hat {x}}_{T}(\omega )|^{2}\right]=\mathbf {E} \left[{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}x^{*}(t)e^{i\omega t}\,dt\int \limits _{0}^{T}x(t')e^{-i\omega t'}\,dt'\right]={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\int \limits _{0}^{T}\mathbf {E} \left[x^{*}(t)x(t')\right]e^{i\omega (t-t')}\,dt\,dt'.$

En son halinde (sabit/durağan gelişigüzel süreçte değişkenler ile $\Delta t=t-t'$ değişiklik yapılabilir ve integralin limitiyle sonsuza yaklaşır.Sonuç olarak elde edilen spektral güç yoğunluğu $S_{xx}(\omega )$ olur ve bu sinyalin otokorelasyon(, çoklu regresyon analizinde hata teriminin birbirini izleyen değerleri arasında ilişki bulunması hali) fonksiyonu Fourier’in dönüşümleriyle karşımıza çıkabilir.Fonksiyondaki otokorelasyonun istatistiksel tanımı $\gamma (\tau )=\langle X(t)X(t+\tau )\rangle$ (veya daha genel olarak X(t)'in karmaşık bir değerde olduğu durumlarda $\gamma (\tau )=\langle X(t)X^{*}(t+\tau )\rangle$ olarak tanımlanır).

$\gamma (\tau )$‘ın her koşulda integrallenebilir olduğu durumlarda :

$S_{xx}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\gamma (\tau )\,e^{-i\omega \tau }\,d\tau ={\hat {\gamma }}(\omega ).$

Çoğu yazar spektral güç yoğunluğunu bu formülle tanımlarlar.

Verilen bir frekans aralığındaki $[f_{1},f_{2}]$ veya $[\omega _{1},\omega _{2}]$ sinyalin gücü frekans aralığının integralinin alınmasıyla hesaplanabilir. $S_{xx}(-\omega )=S_{xx}(\omega )$ eşitliği söz konusu olduğundan eşit miktarda güç pozitif ve negatif frekanslara dağıtılabilir.Aşağıda belirtilen formda ikinin katıyla hesaplanır.Budenli ufak tefek faktörler kullanılan toplama bağlıdır.

$P_{\mathsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}\,S_{xx}(2\pi \!f)\,df={\frac {1}{\pi }}\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}\,S_{xx}(\omega )d\omega$

Daha genel olarak benzer teknikler zaman değişkenli spektral yoğunlukların tahmin edilmesinde kullanılabilir.Bu durumda kesik Fourier dönüşümü yukarıda belirtilen sınırlı zaman aralığında (0, T) T’nin limitinin sonsuza yaklaştığını söyleyemeyiz.Bu düşük spektral kapsamına ve düşük çözünürlüğe sebep olur.Çünkü 1/T’ den düşük frekanslar örnek olarak denenmemiştir ve frekansların, 1/T’nin katsayılarının bir tam sayı olmamasına sebep olur.Sadece tek zaman dizisi kullanarak tahmin edilen spektral güç yoğunluğu çok fazla gürültülü olacaktır.Fakat bu hafifletilebilirdir. Eğer beklenen değeri (yukarıdaki denklemde) kısa süreli spektra (tafy) büyük sayılar (veya sonsuz) kullanarak istatistiksel birliğe göre hitap edecek şekilde spesifik bir zaman aralığında x(t) gerçekleştirilen değerlendirmelerle yapılabilir.

Spektral güç yoğunluğunun bu tanımı ayrık zaman $x_{n}$ olarak genelleştirilebilir.Yukarıda $1\leq n\leq N$ sınırlı bir aralıklıla birlikte farklı zamanlarda $x_{n}=x(n\Delta t)$ toplam periyod ölçümü $T=N\Delta t$ için bir sinyal örneği belirlemiştik. Daha sonra tek bir spektral güç yoğunluğu tahmini için integrasyondan ziyade toplama ile elde edilinebilinecektir.

${\tilde {S}}_{xx}(\omega )={\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=1}^{N}x_{n}e^{-i\omega n}\right|^{2}$.

Daha önceden, asıl spektral güç yoğunluğunu N (ve böylelikle T) sonsuza yaklaştığında elde edebiliriz ve beklenen değer resmen uygulanmış olur.Gerçek Dünya uygulamasında biri tipik olarak ortalama spektral güç yoğunluğunun tek bir ölçümünde fiziksel süreç boyunca yapılan denemelerde bir tane fazladan daha kesin tahmini teorik spektral güç yoğunluğu elde etmek için bireysel çalışmalar altında gerçekleştirilir.Bu ölçülen spektral güç yoğunluğuna bazen periodogram(spektral yoğunluk tahmini) adı verilir.Bu periodogram ortalama zaman aralığı sonsuza yaklaşırken doğru spektral güç yoğunluğunu tahmini değerlerin sayısıyla birleştirir.

Eğer iki sinyalde spektral güç yoğunluğunu etkilerse çapraz spektral yoğunluk benzer bir şekilde hesaplanabilir.Bunun için spektral güç yoğunluğunun otokorelasyonla bağlantılı olması gerekir ve böylece çapraz spektral yoğunluk çapraz korelasyonla bağlantılı olur.

Çapraz korelasyon,sinyal sürecinde iki seri fonksiyonun birbirine bağlı olan gecikmelerin benzerliklerinin hesaplanmasıdır.Aynı zamanda nokta çarpım olarak ya da içler çarpımı olarak da bilinir.

Tahmin Etme

Spektral yoğunluk tahmininin amacı bir dizi zaman örneklerinden rastgele sinyallerin spektral yoğunluklarının tahmin edilmesidir.Sinyal hakkında neyin bilindiğine bağlı olarak tahmin teknikleri parametrik ve parametrik olmayan istatistiksel yaklaşımlar içerir ve zaman alanı veya frekans alanı analizlerine dayalı olabilir. Örneğin yaygın bir parametrik teknik gözlemleri otogresif modele uyarlar. Otogresif, istatistik ve sinyal sürecinde sıradan bir sürecin tipinin gösterilmesidir. Örneğin,doğada kesin değişken zaman sürecini tanımlar. Yaygın parametrik olmayan teknik ise periodogramdır.

Spektral yoğunluk çoğu zaman Fourier değişken teknikleri kullanılarak tahmin edilir.Örneğin Welch metodu da bunlardan biridir. Welch metodu standart periodogram spektrum(tafy) tahmin metodunun geliştirilmiş halidir. Bu metot tahmini güç tayfındaki gürültüyü frekans netliğini düşürülmesiyle azaltır.Fakat diğer teknikler de(örneğin:maksimum entropi metodu) kullanılır.

Bağlantılı Kavramlar

• Herhangi bir sinyalin spektral ağırlık merkezi spektral yoğunluk fonksiyonunun orta noktasıdır. (Dağılımı iki eş parçaya ayıran frekanstır.)
• Bir sinyalin spektral kenar frekansı iki ayrı parçaya bölünmek yerine bir önceki konseptin genişletilmiş oranlı halidir.
• Spektral yoğunluk, zamana bağlı bir fonksiyon değil frekansa bağlı bir fonksiyondur. Fakat küçük aralıklı bir sinyalin spektral yoğunluğu hesaplanabilir ve aralığın zamana bağlı grafiği çizilebilir. Bu tür grafiklere spektogram adı verilir. Bu tür teknikler Fourier kısa-zamanlı dönüşümleri ve küçük dalgalar ın prensibine dayalı bir tür spektrala analiz tekniğidir.
• Spektrum(tayf) genellikle spektral güç yoğunluğu anlamına gelir. Yukarıda da yazıldığı gibi dağılmış sinyal içeriğinin frekans boyunca resmedilmesidir. Bu frekansın aktarım fonksiyonuna(frekans fonksiyonu türünden gerçek ya da hayali safha içerir) olan karşılığıyla karıştırılmamalıdır. İletim fonksiyonları(örneğin:Bode diyagramı) için frekans tepkisinin grafiği iki farklı şekilde çizilir. İlki şiddet-frekans ve diğeri ise faz-frekans grafikleridir (daha az kullanılan iletim fonksiyonunun gerçek ve sanal bölümleri). Darbe tepkisi (zaman aralığında)$h(t)$,faz fonksiyonu olmadan tek başına spektral şiddet yoğunluğu geri kazanılamaz. bunlar Fourier dönüşüm parçaları olsa da fourier dönüşümünü gerçek değere zorlayacak bir (ayrıca otokorelasyon için) simetri yoktur. Ekstra bilgi için spektral faz ve faz gürültüsü konularına bakınılabilir.

Elektrik Mühendisliği

FM radyo sinyalinin frekansla yatay düzlemdeki spektogramı ve zaman dikey düzlemde artıyor.

Bir sinyalin güç spektrumunun ve konseptinin kullanımı elektrik mühendisliğinde temeldir. Özellikle elektronik iletişim sistemlerinde, bunlar radyo iletişim, radarlar ve bunlarla bağlantılı sistemlerdir. Bunlara ek olarak bir de pasif uzaktan algılama teknolojisi vardır. Elektronik araçlar olarak adlandırılan spektrum analizörleri sinyallerin güç spektrası(tayf)ını gözlemlemek ve ölçmek için kullanılırdı.

Spektrum analizörleri, girilen sinyalin kısa zamanlı Fourier dönüşümlerinin değerini ölçer. Eğer sinyal analiz edildiğinde durağan bir süreçteyse kısa zamanlı Fourier dönüşümü, sinyalin spektral güç yoğunluğunun tahmini olarak en iyi değerde hesaplanmasını sağlar.

Ayrıca bakınız

• Coherence (signal processing), for use of the cross-spectral density.
• Noise spectral density
• Spectral density estimation
• Spectral efficiency
• Spectral power distribution
• Brightness temperature
• Colors of noise
• Spectral leakage
• Window function
• Bispectrum

Dış bağlantılar

• Power Spectral Density Matlab scripts 18 Ekim 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.