Vektörler (p, φ, z ) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada
p , xy düzlemine r vektörünün izdüşüm uzunluğu,
φ pozitif x -ekseninin (0 ≤ φ < 2π) xy -düzlemi (i.e. r )vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
z bilinen z -koordinatı.
(p, φ , z ) kartezyen koordinatlarda şöyle verilir:
[
p
ϕ
z
]
=
[
x
2
+
y
2
arctan
(
y
/
x
)
z
]
,
0
≤
ϕ
<
2
π
,
{\textstyle {\begin{bmatrix}p\\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
veya tersi yoluyla:
[
x
y
z
]
=
[
p
cos
ϕ
p
sin
ϕ
z
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\cos \phi \\p\sin \phi \\z\end{bmatrix}}.}
Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:
A
=
A
x
x
^
+
A
y
y
^
+
A
z
z
^
=
A
p
p
^
+
A
ϕ
ϕ
^
+
A
z
z
^
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{p}\mathbf {\hat {p}} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }
Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:
[
p
^
ϕ
^
z
^
]
=
[
cos
ϕ
sin
ϕ
0
−
sin
ϕ
cos
ϕ
0
0
0
1
]
[
x
^
y
^
z
^
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {p}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
Bir vektör alanının zaman türevleri
değiştir
"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.
Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (
A
˙
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}
).
Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:
A
˙
=
A
˙
x
x
^
+
A
˙
y
y
^
+
A
˙
z
z
^
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:
A
˙
=
A
˙
p
p
^
+
A
p
p
^
˙
+
A
˙
ϕ
ϕ
^
+
A
ϕ
ϕ
^
˙
+
A
˙
z
z
^
+
A
z
z
^
˙
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{p}{\hat {\boldsymbol {p}}}+A_{p}{\dot {\hat {\boldsymbol {p}}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}
Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.
p
^
˙
=
ϕ
˙
ϕ
^
ϕ
^
˙
=
−
ϕ
˙
p
^
z
^
˙
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {p} }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {p} }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}
ile verilir.
Zaman türevleri basitçe:
A
˙
=
p
^
(
A
˙
p
−
A
ϕ
ϕ
˙
)
+
ϕ
^
(
A
˙
ϕ
+
A
p
ϕ
˙
)
+
z
^
A
˙
z
{\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {p}}}({\dot {A}}_{p}-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{p}{\dot {\phi }})+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}
Bir vektör alanın ikinci kez türevi
değiştir
fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor .
Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:
A
¨
=
p
^
(
A
¨
p
−
A
ϕ
ϕ
¨
−
2
A
˙
ϕ
ϕ
˙
−
A
p
ϕ
˙
2
)
+
θ
^
(
A
¨
ϕ
+
A
p
ϕ
¨
+
2
A
˙
p
ϕ
˙
−
A
ϕ
ϕ
˙
2
)
+
z
^
A
¨
z
{\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {A}}_{p}-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{p}{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\ddot {A}}_{\phi }+A_{p}{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{p}{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}
Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.
Bu demektir ki
A
=
P
=
p
p
^
+
z
z
^
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =p\mathbf {\hat {p}} +z\mathbf {\hat {z}} }
.
Biz koymak yerine sonra:
P
¨
=
p
^
(
p
¨
−
p
ϕ
˙
2
)
+
ϕ
^
(
p
ϕ
¨
+
2
p
˙
ϕ
˙
)
+
z
^
z
¨
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {p}}-p{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(p{\ddot {\phi }}+2{\dot {p}}{\dot {\phi }})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}
Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:
p
¨
p
^
=
central outward acceleration
−
p
ϕ
˙
2
p
^
=
centripetal acceleration
p
ϕ
¨
ϕ
^
=
angular acceleration
2
p
˙
ϕ
˙
ϕ
^
=
Coriolis effect
z
¨
z
^
=
z-acceleration
{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {p}}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-p{\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{centripetal acceleration}}\\p{\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{angular acceleration}}\\2{\dot {p}}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{Coriolis effect}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{aligned}}}
Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti , Açısal hız , Coriolis etkisi .
(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler
r vektörünün boyudur,
θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π),
(by:
[
r
θ
ϕ
]
=
[
x
2
+
y
2
+
z
2
arccos
(
z
/
r
)
arctan
(
y
/
x
)
]
,
0
≤
θ
≤
π
,
0
≤
ϕ
<
2
π
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\ r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/\ r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
tarafından
ya da ters tarafından:
[
x
y
z
]
=
[
r
sin
θ
cos
ϕ
r
sin
θ
sin
ϕ
r
cos
θ
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ r\sin \theta \cos \phi \\\ r\sin \theta \sin \phi \\\ r\cos \theta \end{bmatrix}}.}
Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:
A
=
A
x
x
^
+
A
y
y
^
+
A
z
z
^
=
A
r
r
^
+
A
θ
θ
^
+
A
ϕ
ϕ
^
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:
[
r
^
θ
^
ϕ
^
]
=
[
sin
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
cos
θ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
θ
−
sin
ϕ
cos
ϕ
0
]
[
x
^
y
^
z
^
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız
Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:
A
˙
=
A
˙
x
x
^
+
A
˙
y
y
^
+
A
˙
z
z
^
{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }
Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:
A
˙
=
A
˙
r
r
^
+
A
r
r
^
˙
+
A
˙
θ
θ
^
+
A
θ
θ
^
˙
+
A
˙
ϕ
ϕ
^
+
A
ϕ
ϕ
^
˙
{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}
Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir.
Bunlar tarafından verilmektedir:
r
^
˙
=
θ
˙
θ
^
+
ϕ
˙
sin
θ
ϕ
^
θ
^
˙
=
−
θ
˙
r
^
+
ϕ
˙
cos
θ
ϕ
^
ϕ
^
˙
=
−
ϕ
˙
sin
θ
r
^
−
ϕ
˙
cos
θ
θ
^
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}
zamana göre türevleri alınırsa:
A
˙
=
r
^
(
A
˙
r
−
A
θ
θ
˙
−
A
ϕ
ϕ
˙
sin
θ
)
+
θ
^
(
A
˙
θ
+
A
r
θ
˙
−
A
ϕ
ϕ
˙
cos
θ
)
+
ϕ
^
(
A
˙
ϕ
+
A
r
ϕ
˙
sin
θ
+
A
θ
ϕ
˙
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta )}