Modüler aritmetik

Modüler aritmetik, tam sayılarda kullanılan bir hesap yöntemidir. Saatin her on iki saatte bir yinelenmesi gibi modül denen belli bir değere gelindiğinde yeniden sıfıra dönülmesiyle olur.

Analog saatlerin işleyişi modüler aritmetiğe örnektir. 13'ün modül 12'de karşılığı 1 olduğu için saat 9'a 4 saat eklenmesiyle saat 1 olur.

Birçok eski kültürde insanlar modüler aritmetikte söz etmişlerdir. Çin kalan teoremi buna örnek verilebilir. Çağdaş gösterimi ile tanımını Carl Friedrich Gauss açıklamıştır.

a ve b tam sayıları, verilen bir pozitif m sayısına bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa ''a tam sayısı, b tam sayısına, m modülüne göre denktir." denir. a ≡ b mod(m) ile gösterilir. Başka bir söyleniş şekli ise a sayısının m sayısına bölümünden kalanın b olduğudur. Bunu cebirsel bir ifade ile yazarsak a=mk+b (k ∈ Z) olacaktır.

Modüler Aritmetiğin Özellikleri

a, b, c, k ∈ Z ve m, n ∈ Z⁺, m > 1 için;

1) a ± c ≡ b ± c (mod m) Her iki tarafa istenilen sayı eklenip çıkarılabilir.

2) a. c ≡ b. c (mod m) Her iki taraf istenilen sayı ile çarpılabilir.

3) aⁿ ≡ bⁿ (mod m) Her iki tarafın n. dereceden üssü alınabilir.

4) a ± m.k ≡ b (mod m) Tek bir tarafa veya iki tarafa m sayısının k katı eklenip çıkarılabilir.

Örnekler

1) Modüler aritmetikte çok büyük sayıların kalanını bulmak çok kolaydır. Gerekli adımları takip ederek bunu yapmanız çok kolay olacaktır. Örneğin;

7^1881 ≡ ? mod(4)

7^1 ≡ 3 mod(4)

7^2 ≡ 1 mod(4)

7^3 ≡ 3 mod(4)

7^4 ≡ 1 mod(4)

Yukarıdaki ifade belli bir düzene göre gittiğinden (tek sayılı üsler için 3; çift sayılı üsler için 1 kalanı veriyor.) 7^1881=3 mod(4) olacaktır.

2) 58 * 17 + 13 ≡ ? mod (11)

3 * 6 + 2 ≡ ? mod(11)

20 ≡ 9 mod(11)

Böylece yukarıdaki toplam ve çarpım içeren ifadenin 11 e bölümünden kalan 9 olacaktır.

3) 444^9 * 2189 - 1999 ≡ ? mod(9) (9 a bölünebilme kuralı ile çözülebilir.)

3^9 * 2 - 1 ≡ ? mod(9)

0 - 1 ≡ ? mod(9)

? = 8 olacaktır.