Kramers-Kronig ilişkileri

Karmaşık analiz ve fizikte Kramers-Kronig ilişkileri, üst yarı düzlemde analitik olan herhangi bir karmaşık fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını iki yönlü bir şekilde ilişkilendirir. Bu ilişkiler genellikle doğrusal fiziksel sistemlerin tepki fonksiyonlarının reel kısmı aracılığıyla sanal kısmının elde edilmesinde kullanılır; aynı şekilde sanal kısım aracılığı ile reel kısım da bu şekilde elde edilebilir. Bu ilişkiler, stabil fiziksel sistemlerdeki nedenselliği belirtir. Bu ilişkiler ismini fizikçiler Hendrik Anthony Kramers ile Ralph Kronig'den almaktadır.

Kramers-Kronig ilişkisinin illüstrasyonu. Bu örnekte bir malzemenin elektriksel duyarlılık fonksiyonunun reel kısmı bilinen sanal kısmından türetilmektedir.

Üst yarı düzlemde analitik bir karmaşık fonksiyon $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ şeklinde yazılabilir; burada $\chi _{1}(\omega )$ ve $\chi _{2}(\omega )$ reel fonksiyonlardır. Bu durumda bu iki fonksiyon

$\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '$

ve

$\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',$

Üst yarı düzlemdeki integral kontürü

şeklinde ilişkilendirilebilir. Bu ilişkilerde ${\mathcal {P}}$ Cauchy temel değerine, $\omega$ ise açısal frekansa denk gelmektedir. İlişkiler üst yarı düzlemdeki bir yarım çember kontürüne kalıntı teoreminin uygulanması ile türetilebilir.

Elektromanyetizma ve optikte Kramers-Kronig ilişkileri malzemelerin karmaşık kırılma indislerinin hesaplanmasında sıklıkla kullanılmaktadır. Kayıplı bir malzemenin karmaşık kırılma indisi ${\tilde {n}}=n+i\kappa$ şeklinde ifade edilebilir; bu formülde $\kappa$ malzemenin kayıp katsayısıdır. Bu ilişkiler malzemelerin yalıtkanlık sabitlerine ve elektriksel duyarlılıklarda da uygulanabilmektedir.

Ayrıca bakınız

• Dağılma