Euler özdeşliği

Başlığın diğer anlamları için Euler (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler tarafından bulunan eşitlik

Üstel fonksiyon e^z, N sonsuza giderken (1 + z/N)^N'nin limitine eşittir. Böylece, e^iπ ifadesi (1 + iπ/N)^N'nin limitine eşit olur. Bu canlandırmada N, 1'den 100'e kadar değişen değerler almaktadır. (1 + iπ/N)^N ifadesinin hesaplanması karmaşık düzlemde gerçekleştirilen N çarpımın bütüncül etkisiyle açıklanır. N arttıkça (1 + iπ/N)^N ifadesinin limiti -1'e yakınsar.

$e^{i\pi }+1=0,\,\!$

dır. Burada,

e, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,

i, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,

π, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder.

Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır.

Özdeşliğin doğası

Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır. Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir. Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

• 0 sayısı
• 1 sayısı
• Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
• Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (e ≈ 2.71828)
• Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı

Özdeşliğe ilişkin düşünceler

Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır. Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir.

Paul Nahin'in Dr. Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır. Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır.

Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür.

Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır.

19. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir: "Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz."

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir: "Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor."

Çıkarımı

Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur. Euler formülü her x gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

$x=\pi ,\,\!$

eşitliği sağlanıyorsa

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

ifadesi elde edilir. Bunun nedeni

$\cos \pi =-1\,\!$

ve

$\sin \pi =0,\,\!$

eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir.

$e^{i\pi }=-1,\,\!$

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür.

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Euler Bağıntıları

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!$

$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!$

$\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2\!$

$\sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/2\,i\!$

double euler(double exp.'e atfen) bağıntıları

$e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!$

$e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}\!$

$e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}\!$

$e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}=({e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}}})/{2}\!$

$e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}=({e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}}})/{2}\,i\!$

Genelleme

Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar.

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.$

Atıf sorunu

Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır. Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler. (Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluşturabilir.) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur.

Ayrıca bakınız

• Üstel fonksiyon
• Gelfond sabiti
• Bessel fonksiyonları

Kaynakça

• Crease, Robert P., "Gelmiş geçmiş en büyük denklemler14 Temmuz 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", PhysicsWeb, Ekim 2004.
• Crease, Robert P. "Simgesel Denklemler 5 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.," PhysicsWeb, Mart 2007.
• Derbyshire, J. Büyük Takıntı: Bernhard Riemann ve matematiğin en gizemli sorusu (New York: Penguin, 2004).
• Kasner, E. ve Newman, J., Matematik ve Hayalgücü (Bell ve Sons, 1949).
• Maor, Eli, e: Bir Sayının Öyküsü (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J., Dr. Euler'in Enfes Formülü (Princeton University Press, 2006), ISBN 978-0-691-11822-2
• Reid, Constance, Sıfırdan Sonsuza (Amerikan Matematik Kurumu).
• Sandifer, Ed, "Euler'in En Büyük Başarıları", MAA Online, Şubat 2007.