Eğim

Matematikte bir doğrunun eğimi ya da gradyanı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Daha büyük eğim, daha dik bir doğru demektir.

Bir doğrunun eğimi m = Δy/Δx şeklinde tanımlanır.

Eğim, bir doğrunun herhangi iki noktası arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı olarak tanımlanabilir. Bir doğru üzerinde (x₁,y₁) ve (x₂,y₂) koordinatlarında iki nokta verildiğinde doğrunun eğimi m, $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ formülüyle bulunabilir.

Diferansiyel kalkülüs ile, bir teğetin, bir eğrinin herhangi bir noktasındaki eğimi hesaplanabilir.

Eğim kavramı, coğrafya ve inşaat mühendisliğindeki grad ve gradyanlarda doğrudan kullanılmaktadır. Trigonometri açısından bir yolun gradı m ile diklik açısı θ arasındaki ilişki; $m=\tan \theta \!$'dır.

Tanımı

Koordinat düzlemindeki bir doğrunun eğimi çoğunlukla m harfiyle ifade edilir ve doğru üzerindeki iki noktadan y koordinatındaki değişimin x koordinatındaki değişime oranı olarak hesaplanabilir. Denklem olarak şu şekilde yazılır:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

(x₁,y₁) ve (x₂,y₂) şeklinde iki nokta verildiğinde, değişkenleri yerine yazarak şu elde edilir:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Örnekler

Bir doğru P = (1, 2) ve Q = (13,8) noktalarından geçiyor olsun. y koordinatlarındaki değişimi x koordinatlarındaki değişime oranlayarak eğimi şu şekilde bulunabilir:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}$

Bir başka örnek vermek gerekirse, (4,15) ve (3,21) noktalarından geçen doğrunun eğimi şu şekilde hesaplanır:

$m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6$

Geometri

Eğimin mutlak değeri arttıkça, doğrunun dikliği artar. Yatay bir doğrunun eğimi 0 iken, pozitif yönde 45° açı yapan bir doğrunun eğimi +1, negatif yönde 45° açı yapan bir doğrunun eğimi ise -1'dir. Dikey bir doğrunun eğimi tanımsızdır, dolayısıyla eğimi yoktur.

Bir doğrunun pozitif x aksisiyle yaptığı θ açısı, tanjant fonksiyonu aracılığıyla m eğimiyle yakından ilgilidir:

$m=\tan \,\theta$

ve

$\theta =\arctan \,m$

İki doğru, ancak ve ancak eğimleri eşitse ya da ikisi de dikey ve eğimleri tanımsızsa paralel ve çakışmazdır. İki doğrunun eğimleri çarpımı -1 ise ya da doğrulardan biri yatay, biri dikeyse (eğimleri 0 ve tanımsızsa) doğrular birbirine diktir.

Cebir

Eğer y, x`in doğrusal fonksiyonuysa, x`in katsayısı fonksiyon doğrusunun eğimini verir. Doğrunun denklemi aşağıdaki gibi verilirse,

$y=mx+b\,$

m eğim olur.

Eğer doğrunun eğimi m ve doğru üzerindeki bir nokta (x₁,y₁) biliniyorsa, doğrunun denklemi aşağıdaki gibi bulunabilir:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$

Örneğin, (2,8) ve (3,20) noktalarından geçen bir doğru ele alındığında, eğim m şuna eşittir:

${\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12\,$

Doğrunun denklemi de şu şekilde:

$y-8=12(x-2)=12x-24\,$

ya da şu şekilde:

$y=12x-16.\,$

yazılabilir.

$ax+by+c=0\,$ şeklinde tanımlanan bir fonksiyonun eğimi $-{\frac {a}{b}}\;$'ye eşittir.

Kalkülüs

Her bir noktada fonksiyonun türevi, eğriye teğet olan doğrunun eğimini verir. Doğru her zaman mavi eğriye teğettir ve eğimi onun türevine eşittir. Doğrunun yeşil olduğu noktalarda türev pozitif, kırmızı olduğunda negatif, siyah olduğunda ise sıfırdır.

Eğim kavramı diferansiyel kalkülüste çok kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, değişim oranı eğri boyunca değişir. Bir noktada fonksiyonun türevi, o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimini (o noktadaki değişim oranını) verir.

Δx ve Δy eğri üzerindeki iki noktanın uzaklıklarıysa, yukarıdaki tanıma uygun olarak,

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$,

formülü eğriyi kesen bir doğrunun eğimini verir. Diğer eğrilerden farklı olarak, doğru üzerindeki herhangi iki noktadan geçen bir kesen doğrunun kendisidir. Örneğin, y = x² eğrisini (0,0) ve (3,9) noktalarında kesen doğrunun eğimi 3'tür. (x = ³⁄₂'daki teğetin eğimi de 3'tür-ortalama değer teoreminin bir tesadüfü.)

İki nokta Δy ve Δx küçülecek şekilde birbirine yakınlaştırıldığına, kesen, gittikçe teğet doğrusuna yaklaşır. Dolayısıyla kesenin eğimi de teğetin eğimine yaklaşır. Diferansiyel kalkülüs kullanılarak, limiti bulunabilir ya da Δy ve Δx sıfıra yaklaşırken Δy/Δx`in değeri hesaplanabilir. Eğer y, x`e bağlıysa, sadece Δxin sıfıra yaklaşırken limiti almak yeterlidir. Teğet doğrusunun eğimi, Δx sıfıra yaklaşırken Δy/Δx`in limitine eşittir. Bu limit türev olarak adlandırılır.

Ayrıca bakınız

• Gradyan, birden fazla değişken alan fonksiyonlar için eğim kavramının genelleştirilmesidir.
• Öklid uzaklığı