Düşen cisim denklemleri

Birtakım dinamik denklemler, normal şartlar altında yerçekimi kuvvetinin etkisiyle hareket etmekte olan cisimlerin doğrultularını tanımlamaktadır. Örneğin; Newton'un genel yerçekimi yasası,F = mg.(m cismin kütlesi). Bu varsayım dünya yüzeyinden kısa mesafede düşmekte olan cisimler için kabul edilmesine karşın uzun mesafede serbest düşüş yapan cisimler, için tam olarak doğru değildir.

Not:Bu makalede hava sürtünmesi göz önünde bulunulmamıştır.

Tarihçe

Kabul edilebilir bir yükseklikten düşmekte olan cisimler için kullanılan, hava sürtünmesinin yok sayıldığı bu denklemlerde limit hıza çok çabuk ulaşılmaktadır. Hava sürtünmesi, kullanılan cismin geometrik şekline ve büyüklüğüne bağlı olarak değişkenlik göstermektedir, — örneğin, bu denklemi ağırlığı çok düşük olan bir tüy için kullanmak, hava sürtünmesi çok fazla olduğu için ne yazık ki yanlış olur (Astronot David Scott tarafından atmosfer olmayan bir ortamda bir tüy ve çekice aynı işlem uygulandığında iki cismin de aynı hızda düşüş yaptığı gözlemlenmiştir).

Bu denklem aynı zamanda dünyanın dönüşünü de yok saymaktadır. Ancak yine de denklem fazla yüksekten atılmayan (örneğin; insan yapımı büyük binalardan atılmadığı sürece) cisimler için yeterince isabetli sonuçlar vermektedir.

Genel Bakış

Başlangıçta durmakta olan bu cisim bırakıldığında yerçekimi etkisiyle serbest düşüşe başlar. Bu düşüşte alınan yol geçen sürenin karesiyle orantılıdır. Bu resimde, top düşüşe bırakıldıktan 0,05 saniye geçtikten sonra top bir ünite (yaklaşık 12 mm), yol almıştır. 0,10 saniye geçtikten sonra toplamda 4 ünite yol, 0,15 saniye sonra 9 ünite yol alır ve böyle devam eder.

Dünya yüzeyine yakın noktalarda yerçekimi kuvveti yaklaşık olarak g = 9.81 m/s² kadardır. Diğer gezegenler için, yerçekimi kuvveti g nin uygun ölçek çarpanı ile çarpılmasıyla elde edilir. Yerçekimi kuvveti g için birimleri d, t ve v büyüklükler çok önemlidir. Uluslararası Birimler Sistemine(SI) göre, "g m/skare olarak ölçülür. Bunun için d metre olarak, t saniye olarak ve v m/s olarak ölçülüp uyarlanmalıdır".

İlgili tüm durumlarda, cisim durağan halden harekete başlamış olarak kabul edilir ve hava sürtünmesi yok sayılır. Genellikle, Dünya'nın atmosferinde gerçekleşen 5 saniyenin üstündeki düşüşlerde, hava sürtünmesinden dolayı, tam olarak doğru sonuçlara ulaşılmaz (cisim bu zaman diliminden sonra hava sürtünmesinden dolayı, 49 m/s (9.8 m/s² × 5 s olan vakum hızından daha az olacaktır). Hava sürtünmesi (vakumlanmış havasız ortam ile kıyaslandığında), atmosferde düşmekte olan herhangi bir cismin sürüklenme kuvvetini düşürür ve bu sürüklenme kuvveti yerçekimi kuvvetiyle eşitlenene kadar cismin hızı ile birlikte artar. Bu noktadan sonra cismin limit hızla düşmesine sebep olur.

Atmosferik sürüklenme, sürüklenmekte olan cismin korelasyon sayısı, cismin başlangıç hızı ve cismin hava akımına maruz kalan alanı limit hızın hesaplanmasında kullanılır.

Denklemler

Düşmekte olan bir cismin belirli bir zamanda $\ t\$ aldığı yol $\ d\$:	$\ d={\frac {1}{2}}gt^{2}$
Alınan belirli bir yolda$\ d\$ geçen süre$\ t\$:	$\ t=\ {\sqrt {\frac {2d}{g}}}$
Düşmekte olan bir cismin belirli süredeki $\ t\$ anlık hızı $\ v_{i}\$:	$\ v_{i}=gt$
Belirli yol $\ d\$ alan bir cismin anlık hızı $\ v_{i}\$:	$\ v_{i}={\sqrt {2gd}}\$
Belirli zaman aralığında $\ t\$ cismin ortalama hızı$\ v_{a}\$:	$\ v_{a}={\frac {1}{2}}gt$
Belirli mesafede $\ d\$ cismin ortalama hızı$\ v_{a}\$:	$\ v_{a}={\frac {\sqrt {2gd}}{2}}\$
Düşmekte olan bir cismin $\ r\$ yarıçaplı M kütleli bir gezegendeki $\ d\$ kadar aldığı yoldaki anlık hızı. Bu denklem yerçekimi ivmesinin $\ g\$ dünyadakinden daha küçük olduğu gezegenler için kullanılır. (Ancak yine kısa mesafeden atıldığında ve $\ g\$'nin neredeyse sabit olduğu durumlarda):	$\ v_{i}={\sqrt {\frac {2GMd}{r^{2}}}}\$
$\ M\$ kütleli ve $\ r\$ yarıçaplı bir gezegende $\ d\$ kadar yol alan, düşmekte olan bir cismin anlık hızı ($\ g\$ yerçekimi ivmesinin değişkenlik gösterdiği uzun mesafeli atışlarda kullanılır):	$\ v_{i}={\sqrt {2GM{\Big (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r+d}}{\Big )}}}\$

Belirli bir mesafede düşüşe bırakılan çelik kürenin düşüş süresi. Düşüş süresi ${\sqrt {2h/g}}$ için elde edilen veriler beklenilen değerlerde olup, h yükseklik ve g yerçekimi ivmesini temsil etmektedir.

Örnekler

İlk denklem gösteriyor ki, düşmekte olan cisim, 1 saniye sonunda 1/2 × 9.8 × 1² = 4.9 metre yol alır. 2 saniyenin sonunda ise 1/2 × 9.8 × 2² = 19.6 metre yol alır ve böyle devam eder. 2. denklemden son denkleme kadar, tüm denklemler kullanıldığında, yüksek mesafeden yapılan atışlarda ihmal edilmeyecek kadar farklılıklar ortaya çıkmaktadır. Eğer bir cisim dünyaya 10,000 metreden atıldığında, fark 0.08% civarında olur ancak cisim yer eş zamanlı yörüngeden atılırsa (42,164 km) fark 64% olur.

Rüzgar direncine dayanarak, örneğin; dünya yüzeyine doğru yüzüstü atlayış yapan limit hıza ulaşmış bir skydiver, yaklaşık olarak 195 km/sa (122 mi/sa ya da 54 m/s) hızında düşüş yapar. Bu hız, kişiye etkiyen kuvvetlerin kişiyi gittikçe limit hıza yaklaştırdığından dolayı ivmelenmesinin asimtotik limitidir. Bu örnekte skydiver limit hızının 50% sine sadece 3 saniyede, %90'ına 8 saniyede %99'una ise 15 saniyede ulaşır.

Skydiver kol ve bacaklarını kendine çekerse daha daha yüksek hıza ulaşabilir. Bu durumda limit hız 320 km/sa (200 mil/saat ya da 90 m/s) ye ulaşır ki bu da neredeyse bir aladoğanın avına doğru giderken ulaştığı limit hıza eşittir. Yine aynı limit hıza 30-06 mermi havaya doğru ateşlendikten sonra yere düşerken de ulaşılır.

Rekabetçi hız tutkunu skydiverlar ise kafaları yeri gösterecek şekilde düşüş yaparlar ve daha yüksek hızlara erişrler. Şu anki dünya rekoru 1,357.6 km/sa (843.6 mi/sa ya da 1.25 Mach) hızla 38,969.4 m (127,852.4 ft) den atlayış yapan Felix Baumgartner'e ait. Rekor denemesi, yüksek irtifada atmosfer yoğunluğunun az olduğu bir bölgede gerçekleştirildi.

Dünya haricindeki diğer astronomik büyüklükler (Ay, Güneş gibi) ve kısa mesafeden yapılan atışlar için, alttaki denklemde bulunan g, G(M+m)/r² ile değiştirilebilir. Buradaki G, yerçekimsel sabit, M astronomik büyüklüğün kütlesi, m düşüş yapan cismin kütlesi ve r ise belirtilen büyüklüğün yarıçapıdır.

Basitleştirilerek varsayım yapılan üniform yerçekim ivmesinin kaldırılması daha isabetli sonuçlar verir. Bunu radyal eliptik yörüngeler için kullanılan formülden bulabiliriz:

r yükseklikten x yüksekliğine düşmekte olan bir cismin iki body nin merkezinden ölçülen zaman şu şekilde hesaplanır:

$t={\frac {\arccos {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}$

Buradaki $\mu =G(m_{1}+m_{2})$ iki cismin standart yerçekimsel parametrelerinin toplamıdır. Bu denklem düşüş sırasında yerçekimi ivmesinde belirgin değişimler olduğu zaman kullanılmalıdır.

Dönmekte olan Dünya'ya Göre Bir Cismin İvmelenmesi

Merkezcil çekim kuvveti dönmekte olan Dünya'nın ivmelenmesi ile serbest-düşüş yapan cismin ivmelenmesi arasındaki farktan kaynaklanır. Referans alınan dönmekte olan cismin görünen ivmelenmesi toplam yerçekimi vektöründen Dünya'nın kuzey-güney doğrultusunda uzanan küçük vektörün çıkarılmasıyla bulunur.