Birebir fonksiyon

Matematikte birebir fonksiyon, eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

• 
  Birebir olan ancak örtmeyen bir fonksiyon (birebir)
• 
  Birebir örten bir fonksiyon (birebir örten)
• 
  Birebir olmayan ancak örten bir fonksiyon (örten, birebir örten değil)
• 
  Birebir olmayan ve örtmeyen bir fonksiyon (birebir örten değil)

$f:X\longrightarrow Y$, $X$'ten $Y$'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her $x_{1},\,x_{2}\in X$ için $f(x_{1})=f(x_{2})$ eşitliği $x_{1}=x_{2}$ eşitliğini gerektiriyorsa, yani $X$'in iki değişik elemanı $Y$'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman $f$ fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Örneğin, $f(x)=x^{2}$ kuralıyla tanımlanan $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin $f(-5)=f(5)$ eşitliği sağlanır; öte yandan gene $g(x)=x^{2}$ kuralıyla tanımlanan $g:\mathbb {R} ^{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$ fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer $f:X\longrightarrow Y$ ve $g:Y\longrightarrow Z$ birebir iki fonksiyonsa o zaman $g\circ f$ fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer $f:X\longrightarrow Y$ ve $g:Y\longrightarrow Z$ iki fonksiyonsa ve $g\circ f$ (bkz. bileşke) birebirse o zaman $f$ fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer $x_{1},\,x_{2}\in X$ için $f(x_{1})=f(x_{2})$ ise, o zaman her iki tarafı da $g$'de değerlendirerek, $g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))$ elde ederiz, yani $(g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})$. Buradan da $g\circ f$ birebir olduğundan $x_{1}=x_{2}$ çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer $X$'ten $Y$'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, $X$'in $Y$'den "daha az" ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu $|X|\leq |Y|$ olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne görre $|X|\leq |Y|$ ve $|Y|\leq |X|$ ise $|X|\simeq |Y|$'dır, yani $X$ ile $Y$ arasında bir eşleme vardır.

Ayrıca bakınız

• Örtmeyen fonksiyon
• Eşleme
• Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi