Ardışık sayılar

Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n: Bir tam sayı

ardışık sayı : $n+(n+1)+(n+2)$

Ardışık tek sayı : $n+(n+2)+(n+4)$

Ardışık çift sayı : $n+(n+2)+(n+4)$ (ardışık tek sayılar ve çift sayılar ikişer artarlar.)

"Gauss ve Matematikteki Büyük Başarısı: Ardışık Sayıların Toplamı"

"Ardışık sayıların mucidi olarak bilinen Carl Friedrich Gauss, 30 Nisan 1777'de Almanya'nın Braunschweig şehrinde doğdu. Gauss, matematiğe olan merakı sayesinde genç yaşta büyük başarılara imza attı.

Bir gün, Gauss'un ilkokul öğretmeni sınıfta ders anlatırken öğrencilerine, 1'den 100'e kadar olan tüm sayıların toplamını bulmalarını söyledi. Öğretmenin birikmiş işleri vardı ve amacı öğrencileri biraz oyalamaktı; ayrıca matematiksel düşünmeyi de öğretmek istiyordu. Ancak Gauss çok daha fazlasını başardı.

Gauss, birkaç saniye düşündükten sonra cevabı buldu ve defterine yazdı. Diğer öğrenciler, hala sayıları toplamaya çalışırken, Gauss öğretmenin yanına gitti ve cevabı söyledi: 5050.

Öğretmen şaşkına döndü ve Gauss'un nasıl bu kadar hızlı bir şekilde cevabı bulduğunu sordu. Gauss, ardışık sayıların toplamını hesaplamak için bir formül keşfettiğini söyledi: 1'den 100'e kadar olan sayıları yan yana yazıp ilk ve son sayıları topladığında sonuç her zaman 101 sayısını veriyordu. Örneğin $''100+1=101''$, $''99+2=101''$ gibi. Bu nedenle Gauss daha sonra 100'ü ikişerli terimlere bölüp 101'le çarpmayı mantıklı buldu. $101x50$ işlemini gerçekleştirdi ve Gauss, çok kısa yoldan 5050 cevabını buldu.

Bu başarısıyla Gauss, matematik dünyasında büyük bir olay haline geldi ve daha sonra bilim camiasında büyük bir ün kazandı. Gauss'un ardışık sayıların toplamını bulmak için keşfettiği formül, bugün bile matematiksel hesaplamaların bir parçasıdır ve matematik eğitiminde kullanılmaktadır. Bu formülü kullanarak, 1'den n'ye kadar olan tüm sayıların toplamını kolayca hesaplayabilirsiniz: $[(nx(n+1))/2]$

Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisi

n
0	1
1	1  1
2	1  2  1
3	1  3  3  1
4	1  4  6  4  1
5	1  5 10 10  5  1
6	1  6 15 20 15  6  1
7	1 7 21 35 35 21  7  1
8	1 8 28 56 70 56 28  8  1
↓

Pascal üçgenini incelersek üçgenin sağ kenarını sadece 1'lerin oluşturduğu

$1,1,1,...,1$ dizisi vardır.

Daha içte

$1,2,3,...,n$ dizisi vardır.

Daha içteyse

$1,3,6,10,...,n(n+1)/2$ dizisi bulunmaktadır.

Ardışık toplamların, toplamların, ... toplamı, bizi en sol alttaki farka götürür. Buradaki örnekte bu değer $8-1=7$'dir.