Açıkorur gönderim

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Dikdörtgen bir ızgara (yukarıda) ve açıkorur bir f gönderimi altındaki görüntüsü (aşağıda). f 'nin $90^{\circ }$ açıyla kesişen doğru çiftlerini yine $90^{\circ }$ açıyla kesişen doğru açılarına gönderdiği görülüyor.

Açıkorur gönderimlerin hem açı hem de yön koruyanlarına konform dönüşüm adı verilir ve tanımları genelde, bir kere gerçel türevlilik içerir. Bu haliyle, konform dönüşümler hem açıları hem de sonsuz küçüklükteki figürlerin şekillerini korurlar; ancak boyutlarını korumayabilir de.

Açıkorur özelliği bir koordinat dönüşümünün Jakoben türevi matrisiyle de açıklanabilir. Eğer dönüşümün Jakoben matrisi her yerde bir skaler ile rotasyon matrisinin çarpımıysa, o zaman dönüşüm açıkorurdur. Açıkorur gönderimler daha yüksek boyutlu Öklid uzaylarındaki veya daha genel bir şekilde bir Riemann manifoldu üzerindeki bölgeler arasında da tanımlanabilir.

Karmaşık analiz

Açıkorur gönderimlerin önemli bir ailesi karmaşık analizden gelmektedir. Eğer U, karmaşık düzlem $\scriptstyle \mathbb {C}$ 'nin açık bir altkümesiyse, o zaman $f:U\rightarrow \scriptstyle \mathbb {C}$ fonksiyonu ancak ve ancak holomorf ise ve türevi U üzerindeki her yerde sıfırdan farklıysa, açıkorurdur. Eğer f tersholomorf ise (yani, holomorf bir fonksiyona eşlenikse), açıları yine korur ancak bu sefer yönleri tersine çevirir. Bunu görmek için daha genel bir varsayımdan başlayalım: $U\subset \mathbb {C}$ açık bir kümeyse, $f=(u,v):U\mapsto \mathbb {R} ^{2}$ fonksiyonu $z_{0}\in U$ noktasında gerçel türeve sahipse, o zaman $f'(z_{0})=df(z_{0}):\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{2}$ dönüşümünün standard bazlara göre determinantı

$\triangle _{f}(z_{0})=\left\vert {\begin{matrix}u_{x}(z_{0})&u_{y}(z_{0})\\v_{x}(z_{0})&v_{y}(z_{0})\end{matrix}}\right\vert =u_{x}(z_{0})v_{y}(z_{0})-v_{x}(z_{0})u_{y}(z_{0})=\left\vert {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})\right\vert ^{2}-\left\vert {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})\right\vert ^{2}$

olur. Eğer fonksiyon holomorfsa, U'nun her noktasında ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ olur. Ayrıca, türevi U üzerindeki her yerde sıfırdan farklıysa bu sefer $\triangle _{f}=\left\vert {\frac {\partial f}{\partial z}}\right\vert ^{2}>0$ olur. Yine benzer bir yolla, tersholomorf için determinantın negatif olduğu gösterilebilir.

Karmaşık analizin çok derin sonuçlarından biri olan Riemann dönüşüm teoremi $\scriptstyle \mathbb {C}$ 'nin boş olmayan, açık, basit bağlantılı bir özalt kümesiyle $\scriptstyle \mathbb {C}$'deki açık birim disk arasında birebir ve örten bir konform dönüşümün varolduğunu söyler.

Genişletilmiş karmaşık düzlemin (ki bir küreye açıkorur olarak denktir) kendi üzerine örten bir gönderimi ancak ve ancak Möbius dönüşümü ise açıkorurdur. Yine, karmaşık eşlenik için, açılar korunur ancak yönler tersine çevrilir.

Sonuncunun bir örneği ise birim çembere göre "çember tersinmesi"ne karşılıık gelen eşleniğin tersini almaktır. Bu ayrıca açıyı aynı tutan, çembersel koordinatlarda yarıçapsal koordinatın tersini almak olarak da açıklanabilir.

Riemann geometrisi

Ayrıca bakınız: Açıkorur geometri

Riemann geometrisinde, $M$ pürüzsüz manifoldunun üzerindeki $g$ ve $h$ Riemann metriklerine, $M$ üzerindeki pozitif bir $u$ fonksiyonu için $g=uh$ eşitliği varsa açıkorur olarak denk denilir. $u$ fonksiyonuna ise açıkorur çarpan adı verilir.

İki Riemann manifoldu arasındaki diffeomorfizme ise, geri çekilen metrik orijinal metriğe açıkorur olarak denk ise açıkorur gönderim denilir.

Pürüzsüz bir manifold üzerinde aynı zamanda açıkorur olarak denk olan Riemann metrikleri sınıfı cinsinden bir açıkorur yapı da tanımlanabilir.

Örneğin, sonsuzdaki nokta eklenmiş bir düzleme kürenin stereografik izdüşümü açıkorur bir gönderimdir.

Daha yüksek boyutlu Öklid uzayı

Boyutu 2'den fazla olan herhangi bir Öklid uzayının üzerindeki açıkorur bir gönderim 3 çeşit dönüşüm tarafından oluşturulabilir: Homotetik dönüşüm, izometri ve özel bir açıkorur dönüşüm. (Bir "özel açıkorur dönüşüm" yansıma ve küredeki tersini almanın bir bileşkesidir.) Bu yüzden, açıkorur dönüşümlerin boyutu 2'den fazla olan uzaylardaki grubu Riemann gönderim teoreminin geniş bir açıkorur dönüşüm grubu sağladığı düzlemdeki durumdan daha sınırlıdır.

Kullanımları

Bir fonksiyon belli bir uzayda harmonikse (yani Laplace denklemi $\nabla ^{2}f=0$'ı sağlıyorsa) ve açıkorur gönderimle başka bir uzaya dönüştürülüyorsa, dönüşüm de harmoniktir. Bu nedenle, bir potansiyel tarafından tanımlanmış herhangi bir fonksiyon açıkorur bir gönderim tarafından da dönüştürülebilir ve hala bir potansiyel tarafından hükmedilir durumda kalır. Fizikteki bir potansiyel tarafından tanımlanmış denklemler örnekleri elektromanyetik alanı, yerçekimsel alanı içerir ve akışkanlar dinamiğinde sabit yoğunluk, sıfır akışkanlık ve dönmez akımı varsayan akışkan akımına bir yaklaşım olan potansiyel akımını içerir. Açıkorur gönderimin akışkan dinamiği uygulamasından birisi de Joukowsky dönüşümüdür.

Açıkorur dönüşümlerin elekromanyetizma için önemi ise Harry Bateman tarafından 1910'da açığa çıkarılmıştır.

Açıkorur gönderimler mühendislik ve fizikteki karmaşık değişkenli fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen ancak uygunsuz geometriler sergileyen problemlerin çözümü için çok değerlidir. Uygun bir gönderim seçilerek, bir analist uygunsuz bir geometriyi çok daha uygun bir geometriye dönüştürebilir. Mesela, belli bir açıyla ayrılmış iki iletken levhanın köşesinin yakınında konuşlanmış bir nokta yükünden kaynaklanan bir elektrik alanı $E(z)$ hesaplanmak istenebilir (burada $z$ noktanın 2-uzaydaki karmaşık koordinatıdır).

Bu problem kendi başına kapalı bir formda çözülmek için bile çok hantaldır. Bununla birlikte, basit bir açıkorur gönderimle, uygunsuz olan açı pi radyan olan bir açıya gönderilir ki bu da iki levhanın köşesinin diz bir doğruya dönüştürüldüğü anlamına gelir. Bu yeni bölgede, problemin çözülmesi oldukça kolaydır. Çözüm $E(w),$ bu bölgede elde edilir ve orijinal bölgesine geri gönderilir. Bu uygulamada açıkorur gönderimlerin açıları koruduğu gerçeğine çelişki yoktur çünkü açıları koruma bölgelerin içi için geçerlidir sınırlar için değil.

Kartografide, harita izdüşümleri adı verilenler ise yine açıkorurdurlar.

Ayrıca bakınız

• Açıkorur geometri
• Penrose diyagramı

Kaynakça

• Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co. 
• E.P. Dolzhenko (2001), "Conformal mapping", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3. bas.), New York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157 
• Eric W. Weisstein, Açıkorur Gönderim (MathWorld)

Dış bağlantılar

• John H. Mathews. "Açıkorur Gönderim Modülü". 29 Eylül 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "Birçok açıkorur gönderimin interaktif gösterimi". 8 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "Açıkorur gönderimlerin gösterimi için Java uygulamaları". 12 Ekim 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• Michael Trott. "Conformal Maps". The Wolfram Demonstrations Project. 21 Haziran 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.