0,999...

$0{,}{\underline {9}}$ , $0{,}{\bar {9}}$ veya $0{,}{\dot {9}}$ şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:

0 ile sonsuza kadar devreden 9'lardan oluşan 0,99999... sayısı

Cebirsel ispatlar

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

{\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}

{\frac {1}{3}}=0{,}{\bar {3}}

gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

{\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}

1=0{,}{\bar {9}}

elde ederiz.

0,9 sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

x=0{,}{\bar {9}}

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

10x=9{,}{\bar {9}}

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9

Sadeleştirelim.

x=1{\underline {}}

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)

n sonsuza giderken ${\frac {1}{10^{n}}}$ ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,

dir.

Teorem: $|r|<1$ ve a sabit sayı olmak üzere $ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}$ dir.

Genel terimi $r=\textstyle {\frac {1}{10}}$ ve sabit sayısı 9 olan seri 0, (9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

0{,}{\bar {9}}\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,

olduğunu görebiliriz.

Wikimedia Commons'ta 0,999... ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.